4.Определение алгебраической операции. Группоид. Нейтральный элемент. Элемент, обратный к данному. Определение и пример группы.

Алгебр опер на мн-во М называется закон, кот каждой паре (a,b) ставит в соответствие 1 элемент С: (а,в)→С; (а,в)е МхМ, сеМ

Группоид – если на М задана операция

- не группоид при a<b на N; - группоид на N

Свойства операций: 1) коммутативность: а*в=в*а 2) ассоциативность а*(в*с)=(а*в)*с 3) для операции существует нейтральный

Элемент е называется нейтральным для операции, если для любого элемента а выполняется равенства . Для сложения е=о, для умножения е=1, для сложения множеств е=Ø, для класа вычетов по mod m е = К-класс

Теорема: операция имеет только один нейтральный элемент.

Док-во: 1) пусть е1 и е2 – нейтральные элементы, тогда а*е1=е1*а=а для всякого а. 2) Пусть а=е2, тогда е1*е2=е2*е1=е2. 3) тк е2- нейтральный элемент, а*е2=е2*а=а для всякого а. 4) Пусть а =е1, тогда е1*е2=е2*е1=е1. 5) тк е1*е2=е2, е2*е1=е1, то е2=е1, чтд

4) Элемент b называется обратным для a, если выполняются равенства а*в=в*а=е.

Теорема: Если М- ассоциативный группоид, обладающий нейтральным элементом е, то у всякого элемента а может быть не более, чем оди обратный элемент.

Док-во: 1) по условию в – обратный для а, по определению а*в=в*а=е. 2) пусть с- обратный для а, тогда а*с=с*а=е 3) а*в=е; тогда с*(а*в) = е*с – заменим а *в на е; 4) по ассоциативности (с*а)*в=с*е; 5) (с*а)*в=е*в =в; 6) по св-ву е: с*е=с, значит, в=с ( из (с*а)*в=с*е), чтд.

Обратный элемент для а – а^-1.

Ассоциативный группоид G, обладающий нейтральным элементом, называется группой, если для всякого элемента существует обратный элемент g^-1.

Условия:

1) на множестве M определена операция 2)операция ассоциативна ( выполняется a(bc)=(ab)c ) 3) существует нейтральный элемент е 4)для всякого элемента существует обратный элемент a^-1, т.е. такой, что aa^-1=a^-1a=e

Если операция коммутативна, то группа называется Абелевой, при условии

1) На мн-ве М определена операция 2) Операция коммутативна а+в=в+а 3) Операция ассоциативна а+(в+с) = (а+в)+с 4) Операция имеет нейтральный элемент 0: а+0=0+а = а 5) Для всякого элемента а существует противоположный элемент -а, такой, что а +(-а) =о

Пример группы: операция сложение на множестве натуральных чисел, множество поворотов плоскости вокруг фиксированоой точки

5. Аксиома коммутативной группы с операцией сложения. Кольцо. Поле.

Ассоциативный группоид G, обладающий нейтральным элементом, называется группой, если для всякого элемента существует обратный элемент g^-1.

Если операция коммутативна, то группа называется Абелевой. Аксиомы коммутативной группы с операцией сложения. 1) а+b=с 2) На мн-ве М определена операция 3) Операция коммутативна а+в=в+а. Коммутативны сложение и умножение чисел и множеств 4) Операция ассоциативна а+(в+с) = (а+в)+с. Ассоциативны сложение и умножение чисел. 5) Операция имеет нейтральный элемент 0: а+0=0+а = а (для сложения). При умножении у=1. 6) Для всякого элемента а существует обратный элемент -а, такой, что а +(-а) =о

Пример группы: операция сложение на множестве натуральных чисел, множество поворотов плоскости вокруг фиксированоой точки, классы вычетов по mod m для операции сложение, шде лля каждого элемента есть обратный.

Теорема: Для коммутативной группы по сложению всегда определена обратная операцию вычитания: в-а =в+(-а) Кольцо- это множество R с двумя операциями, одна из которых называется сложением, а другая умножением. При этом должны выполняться два условия : 1)R по сложению является абелевой группой 2) сложение и умножение связаны законами дистрибутивности.(b+c)*a= a*b+a*c

Система аксиом кольца: 1) На R определена операция сложения 2) сложение коммутативно а+в=в+а. Коммутативны сложение и умножение чисел и множеств 3) сложение ассоциативно а+(в+с) = (а+в)+с. Ассоциативны сложение и умножение чисел. 4) Операция имеет нейтральный элемент 0: а+0=0+а = а (для сложения). 5) Для всякого элемента а существует обратный элемент -а, такой, что а +(-а) =о

6)На R определена операция умножения 7) выполняются законы дистрибутивности а(в+с)=ав+ас; (в+с)а=ва+вс

Пример кольца: мн-во целых чисел, мн-во классов вычетов по mod m, где для каждого элемента есть обратный.

Теорема1. Поглощающее свойство нуля. При умножении любого элемента кольца на 0 в результате получается нуль.

Доказательство:1) b=b+0, где в – любой элемент 2) a*b=a*(b+0)- домножим обе часит на а

3) a*b=ab+a0=ав – раскроем скобки по дистрибутивности 5) для ав существует обратный элемент (-ab):(-ab)+(ab+а0)=(-ab)+(аb)+а0=0; [(-ab)+(ab)]=[(-ab)+(ab)]+a0,те 0=а0, чтд

Отсюда правило на нуль делить нельзя.

Делители нуля – такие в и в - элементы кольца, что ав=о, но а≠0 и в≠0. Пример: класс вычетов по mod 6.

Свойства коммутативной группы с операцией сложение: 1) -(-а)=а 2) каждое уравнение а+х=в имеет единственное решение в+(-а) 3) если а+в=а+с, значит в=с.

Поле -кольцо, в котором 1) умножение коммутативно 2) умножение ассоциативно 3) нейтральный элемент по умножению е=1 4)для всякого а≠0 существует обратный элемент a^-1 такой, что aa^-1=a^-1a=e . В поле можно определены: сложение, вычитание, умножение, деление, кроме деления на 0

Пример поля – множество рациональных чисел m/n , где m,n – целые числа,n≠0; множество классов вычетов по mod5; поле действительных чисел.