23. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, их свойства. Закон больших чисел.

Случайная величина – величина, значение которой заранее не известно,тк зависит от многих причин. Сумма вероятностей случайных величин данного события =1. Пример: число мальчиков на 100 новорожденных.

Математическое ожидание - среднее значение случайной величины. М(х)=х1*Р1+х2*Р2+…..+хn*Рn. Пример: 100 чел, 8 зарабатывают 100, 10 – 250, 60 – 400, 20- 600, 2 – 5000.

средняя з/п=100*8/100+250*10/100+400*60/100+600*20/100+5000*2/100= 493

Св-ва мат ожидания :

1. Мат ожидание постоянной величины = этой постоянной М(с)=с. Док-во. М(х)=с*1=с.

2) постоянный множитель выносится за знак математического ожидания. М(к*х)=кх1Р1+кх2Р2+...+кхnРn= к*М(х)

3)Мат ожидание от суммы случай величин равно сумме ожиданий М(х+у)=М(х)+М(у)

4)Мат ожидание от произведения равно произведению мат ожиданий, если х и у – независимые случайные величины М(х*у)=М(х)*М(у)

Теорема: математическое ожидание отклонения случайной величины от среднего значения равно 0. Д(х)=М[х-М(х)]=0

Док-во: М(х+у)=М(х)+М(у)----М[х-М(х)]=М(х)-М(М(х))=М(х)-М(х)=0, тк М(М(х))=М(х) по св-ву М(с)=с

Дисперсия случайной величины x – Д(х)

Дисперсией случайной величины х называется мат ожиданием квадрата отклонения величины х от её мат ожидания. Д(х)=М[х-М(х)]²

Д(х)= [х₁-М(х)]²*Р₁+[х₂-М(х)]²*Р₂+…..+[х_n-М(х)]²*Р_n

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия от постоянной = 0. Д(с)=0. Док-во: М(х)=с*1=с; Д=[х-М(х)]² = (с-с)²*1 =0*1=0.

2. Д≥0

3. Д[к*х]=к²*Д(х)

4. Дисперсия суммы = сумме дисперсий. Д[х+у]=Д(х)+Д(у) – если х и у независимые случайные величины

Пример

х	1	2	6	7	х-М(х)	1-3=-2	2-3=-1	6-3=3	7-3=4	М[х-М(х)]2	(-2)2 =4	(-1)2 =1	32=9	42=16
Р	0,3	0,4	0,2	0,1	0,3*1+0,2*2+0,6*6+0,1*7=3	0,3	0,4	0,2	0,1	0,3*4+0,4*1+0,2*9+0,1*16=5	0,3	0,4	0,2	0,1

Законы больших чисел

1. Устойчивость среднего арифметического

Дано х₁, х₂, …х_n – случайные величины

х₁+х₂+...+х_n / n – величина, мало отличающаяся от число а

М(х₁)=а _, М(х₂)=а , М(х_n)=а .

Д(х₁), Д(х₂), Д(х_n) ограничены числом с.

В этом случае справедливо неравенство ‌‌‌‌ (х_{1 +} х₂,+…+ х)/n - а ‌ < ε

Если n достаточно велико, это утверждение верно с большой вероятностью:

Р(‌‌‌‌ (х₁ +х₂ +…+х_n)/n – Q ‌ < ε)→1, если n → ∞ - закон больших чисел

Теорема:

Дано х₁, х₂, …х_n –попарно независимые случайные величины

М(х₁)=Q_{1 ,} М(х₂)=Q₂ , М(х_n)=Q_n .

Д(х₁)=Д_1, Д(х₂)=Д_{2 ,} Д(х_n)=Д_{n ;} дисперсия меньше некоторого числа с, тогда для всякого ε>0 выполняется следующее утверждение Р(‌‌‌‌ (х₁ +х₂ +…+х_n)/n – (Q₁+ Q₂ + ...+Q_n )/n ‌ < ε)→1, если n → ∞

На базе закона больших чисел основан выборочный контроль.