Застосування теорії симетричних матриць до теорії квадратичних функцій

Нехай - симетрична матриця з дійсними елементами порядку . За теоремою про будову симетричної матриці існують діагональна матриця та ортогональна матриця , такі, що . Причому, якщо

,

то - усі власні числа матриці , з урахуванням їх кратностей. Нехай тепер - векторний простір розмірності над полем , - деякий фіксований базис простору, - квадратична функція на просторі , якій у базисі відповідає матриця . Припустимо також, що - такий базис простору , що матриця є матрицею переходу від базису до базису . У просторі можна ввести скалярний добуток, відповідний базису , таким чином. Для векторів , які в базисі задаються такими координатами: , покладемо

.

Тоді при такому скалярному добутку базис ортонормований і, оскільки матриця переходу від базису до базису ортогональна, то базис також ортонормований. У цьому базисі квадратичній функції відповідає така матриця:

.

Це означає, що в цьому базисі квадратична функція задається канонічною квадратичною формою:

,

де - усі власні числа матриці .

Алгоритм зведення квадратичної функції до канонічного вигляду ортогональним перетворенням змінних

Припустимо, що квадратична функція у початковому базисі задається квадратичною формою від змінних .

1. Складається матриця квадратичної функції . Матриця симетрична.

2. Знаходяться всі власні числа матриці .

3. Для матриці знаходиться ортонормований базис простору , який складається з власних векторів матриці.

4. Координати векторів записуються в стовпчики матриці . Ця матриця ортогональна і є матрицею переходу від початкового базису до базису .

5. У базисі квадратична функція задається канонічною квадратичною формою:

6. Для початкових та заключних змінних виконується рівність:

.

Класифікація поверхонь другого порядку

Нехай - простір усіх тривимірних векторів з дійсними координатами. В просторі зафіксовано деяку декартову прямокутну систему координат, якій відповідає ортонормований базис простору . Вважаємо, що усі вектори простору задаються координатами в цьому базисі, тобто, якщо то

Поверхнею другого порядку називається множина точок простору, координати яких задовольняють загальному рівнянню поверхні другого порядку:

де коефіцієнти не дорівнюють нулю одночасно. Задача класифікації поверхонь другого порядку полягає в тому, що визначається тип поверхні, яка задається даним рівнянням.

Для розв’язання задачі знаходиться така декартова прямокутна система координат, у якій поверхня задається канонічним рівнянням. Як відомо, початок такої системи координат співпадає з центром поверхні, а вісі координат - з вісями поверхні.

Позначимо:

.

Ця сума є квадратичною формою від змінних . Зводимо її до канонічного вигляду ортогональним перетворенням змінних. Це означає, що знайдеться такий ортонормований базис простору , в якому квадратична форма має канонічний вигляд:

.

Новому базису відповідає нова декартова прямокутна система координат. Якщо - матриця переходу від базису до базису , то для змінних виконується

рівність

У рівнянні поверхні другого порядку зробимо заміну змінних за цією формулою. В новій системі координат поверхня задається рівнянням:

.

Ортогональне перетворення змінних означає, що зроблено поворот системи координат на деякий кут у деякій площині. Далі аналіз розбивається на три випадки, в залежності від числа квадратів, що залишились:

1. Залишилось три квадрати.

2. Залишилось два квадрати.

3. Залишився один квадрат.

Розглянемо випадок 1. Залишається три квадрати, тобто . Перепишемо рівняння у вигляді:

Виділяємо повні квадрати:

Зробимо заміну змінних:

.

Ця заміна означає, що виконується паралельне перенесення системи координат таким чином, що початок координат переноситься в точку з координатами:

У новій системі координат поверхня задається рівнянням

.

Далі можливі такі варіанти:

1) Числа одного знаку. Можна вважати, що . Тоді:

а) Якщо , то рівняння перепишеться у вигляді:

Одержується рівняння еліпсоїда.

б) Якщо , то рівняння розв’язків не має, тобто, задає порожню множину.

в) Якщо , то рівняння задає єдину точку з координатами:

2) Якщо знаки чисел різні, то можна вважати, що .

Тоді:

а) Якщо , то перепишемо рівняння у вигляді:

Одержується рівняння однопорожненого гіперболоїда.

б) Якщо , то перепишемо рівняння у вигляді:

Одержується рівняння двопорожненого гіперболоїда.

в) Якщо , то перепишемо рівняння у вигляді:

.

Одержується рівняння конуса.

Розглянемо випадок 2. Залишається два квадрати. Припустимо, що . Перепишемо рівняння у вигляді:

1) Припустимо спочатку, що . Зробимо заміну змінних:

Заміна означає, що виконується паралельне перенесення системи координат таким чином, що початок координат переноситься в точку з координатами:

У новій системі координат поверхня задається таким рівнянням:

Припустимо спочатку, що числа одного знаку. Можна вважати, що .Тоді:

а) Якщо , то переписуємо рівняння у вигляді:

.

Одержуємо рівняння еліптичного циліндра.

б) Якщо то рівняння розв’язків не має, тобто задає порожню множину.

в) Якщо , то

Система двох рівностей задає пряму – вісь координат .

Припустимо тепер, що знаки чисел протилежні. Можна вважати, що . Тоді:

а) Якщо , то можна вважати, що Рівняння перепишемо у вигляді:

Одержується рівняння гіперболічного циліндра.

б) Якщо , то одержуємо рівняння

.

Таке рівняння задає пару площин .

2) Припустимо тепер, що . Перепишемо рівняння у вигляді:

.

Зробимо заміну змінних:

Заміна означає, що виконується паралельне перенесення системи координат таким чином, що початок координат переноситься в точку з координатами:

У новій системі координат поверхня задається таким рівнянням:

.

Можливі такі варіанти:

а) Якщо числа одного знаку, то можна вважати, що . Перепишемо рівняння у вигляді:

.

Одержується рівняння еліптичного параболоїда.

б) Якщо знаки чисел протилежні, то вважаємо і одержуємо рівняння:

.

Одержуємо рівняння гіперболічного параболоїда.

Розглянемо випадок 3. Залишається один квадрат. Вважаємо, що . Перепишемо рівняння у вигляді:

Далі можливі три варіанти, в залежності від наявності змінних .

1. Нехай Зробимо заміну змінних:

.

Заміна означає, що виконується паралельне перенесення системи координат таким чином, що початок координат переноситься в точку з координатами:

У новій системі координат поверхня задається таким рівнянням:

.

Вважаємо, що . Тоді:

а) Якщо , то рівняння перепишемо у вигляді:

.

Рівняння задає пару площин.

б) Якщо , рівняння розв’язків не має, тобто задає порожню множину.

в) Якщо то рівняння можна переписати у вигляді:

.

Одержуємо рівняння одної площини.

2. Нехай , . Перепишемо рівняння таким чином:

.

Зробимо заміну змінних:

Заміна означає, що виконується паралельне перенесення системи координат таким чином, що початок координат переноситься в точку з координатами:

У новій системі координат поверхня задається таким рівнянням:

,

або

.

Одержується рівняння параболічного циліндра.

3. Нехай . Зробимо заміну змінних:

Така заміна означає поворот системи координат у деякій площині на деякий кут.

У новій системі координат одержується рівняння типу, який розглядається в попередньому випадку.

Література

1. КУРОШ А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1965. - 360 с.

2. ПРОСКУРЯКОВ И.В. Сборник задач по линейной алгебре.- М.: Наука,

1984.- 380 с.

3. ФАДДЕЕВ Д.К., СОМИНСКИЙ И.С. Сборник задач по высшей алгебре.

– М.: Наука, 1977. - 302 с.

Предметний вказівник

Білінійна форма

Білінійна функція

Додатня квадратична функція

Загальне рівняння поверхні другого порядку

Задача зведення

Задача класифікації поверхонь другого порядку

Закон інерції квадратичних форм

Канонічна квадратична форма

Квадратична форма

Квадратична функція

Конгруентні матриці

Кососиметрична білінійна функція

Кососиметрична матриця

Критерій Сильвестера

Кутовий мінор

Матриця білінійної функції

Матриця квадратичної функції

Метод Лагранжа

Поверхня другого порядку

Полярна білінійна функція

Ранг білінійної функції

Ранг квадратичної функції

Симетрична білінійна функція

Умова Сильвестера

Умова Якобі

28