Симетричні та кососиметричні білінійні функції

Означення. Білінійна функція на просторі називається симетричною, якщо .

Припустимо, що - скінченновимірний простір, - деякий фіксований базис простору. Тоді , тобто, матриця симетричної білінійної функції в будь-якому базисі симетрична. Прикладом симетричної білінійної функції є скалярний добуток у евклідові просторі.

Зрозуміло, що на просторі розмірності будь-яка симетрична матриця порядку задає симетричну білінійну функцію.

Означення. Білінійна функція на просторі називається кососиметричною, якщо .

Означення. Квадратна матриця називається кососиметричною, якщо .

Припустимо, що - кососиметрична білінійна функція на скінченновимірному векторному просторі - деякий фіксований базис простору. Тоді . Тобто, в будь-якому базисі кососиметричній білінійній функції відповідає кососиметрична матриця.

Зрозуміло також, що для кососиметричної білінійної функції виконується: .

Дослідження довільних білінійних функцій у певному розумінні зводиться до дослідження симетричних та кососиметричних білінійних функцій.

Зрозуміло, що існують білінійні функції, які не є симетричними або кососиметричними. Нехай - довільна білінійна функція на просторі ,

покладемо

.

Оскільки сума двох білінійних функцій є білінійною функцією, а також добуток білінійної функції на дійсне число - білінійна функція, то - білінійна функція. При цьому

.

Тобто, - симетрична білінійна функція. Далі покладемо

.

Тоді - білінійна функція і

.

Тобто, - кососиметрична білінійна функція. Причому

.

Таким чином, будь-яка білінійна функція є сумою деякої симетричної та деякої кососиметричної білінійних функцій.

Квадратичні функції та квадратичні форми

Нехай - симетрична білінійна функція на векторному просторі над полем .

Означення. Квадратичною функцією називається функція одного аргументу, яка утворена ототожненням аргументів симетричної білінійної функції , тобто, .

Означення. Симетрична білінійна функція , яка породжує квадратичну функцію , називається полярною білінійною функцією квадратичної функції .

Теорема. Для даної квадратичної функції існує єдина полярна білінійна функція.

Доведення. Нехай - квадратична функція на просторі , - її полярна симетрична білінійна функція. Тоді для даних фіксованих , враховуючи симетричність функції , одержимо:

.

Звідси

Якщо - інша полярна білінійна функція, то також виконується

,

тобто,

.

У розумінні цієї теореми дослідження симетричних білінійних функцій зводиться до дослідження квадратичних функцій.

Припустимо, що - скінченновимірний простір, - деякий фіксований базис простору, - довільний вектор, який у цьому базисі задається такими координатами: . Тоді

.

Позначимо

.

Тоді

.

Сума такого вигляду називається квадратичною формою від змінних . Таким чином, квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі в будь-якому базисі задається деякою квадратичною формою. В цьому розумінні часто ототожнюють поняття квадратичної функції та квадратичної форми. Оскільки в різних базисах квадратична функція задається різними квадратичними формами, то кажуть про вигляд квадратичної форми в тому чи іншому базисі.

Означення. Матрицею квадратичної функції у даному базисі називається матриця в цьому базисі її полярної білінійної функції .