Додатні квадратичні функції

Означення. Квадратична функція на векторному просторі над полем називається додатною, якщо для тоді і тільки тоді, коли .

Нехай - полярна симетрична білінійна функція, що породжує додатну квадратичну функцію , тоді задає на просторі скалярний добуток.

Дійсно, перевіримо виконання умов скалярного добутку:

1. .

Це випливає з симетричності білінійної функції

2.

3.

Виконання цих умов випливає з лінійності функції за першим аргументом.

4. тоді і тільки тоді, коли .

Умова виконується, оскільки - додатна квадратична функція.

Критерій Сильвестера

Будемо казати, що матриця з дійсними елементами задовольняє умову Сильвестера, якщо всі її кутові мінори додатні.

Тобто, якщо - порядок матриці, а - всі кутові мінори матриці, то

Теорема (критерій Сильвестера). Квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі додатна тоді і тільки тоді, коли в деякому базисі простору її матриця задовольняє умову Сильвестера.

Доведення. Необхідність. Нехай - додатна квадратична функція на скінченновимірному просторі . Покажемо, що в будь-якому базисі простору матриця квадратичної функції

задовольняє умову Сильвестера.

Доведемо це індукцією за розмірністю простору.

Нехай спочатку , ненульовий вектор утворює базис . Тоді в цьому базисі квадратична функція задається квадратичною формою:

.

Припустимо, що . Тоді для деякого , причому ; і, оскільки - додатна квадратична функція, то . Але , тому

.

Припустимо тепер, що твердження виконується для всіх просторів розмірності менше , тобто, будь-яка квадратична функція в будь-якому базисі такого простору задається матрицею, яка задовольняє умову Сильвестера. І нехай , - деяка квадратична функція на , - фіксований базис простору, в якому функції відповідає матриця

Покажемо, що де - всі кутові мінори матриці . У цьому базисі квадратична функція задається такою квадратичною формою:

.

Цю квадратичну форму можна переписати так:

.

Визначимо підпростір і нехай

.

Тоді - квадратична форма від змінних , яка при фіксованому базисі підпростору задає на цьому підпросторі деяку квадратичну функцію причому . Тому, оскільки функція додатна, то і функція додатна. Але

,

тому, за припущенням індукції, матриця квадратичної функції на підпросторі у базисі задовольняє умову Сильвестера. Ця матриця співпадає з матрицею кутового мінору матриці .

Залишається показати, що . Зводимо квадратичну функцію до канонічного вигляду. При цьому знаходимо базис простору , у якому функції відповідає діагональна матриця:

.

Зрозуміло, що

,

і, оскільки

,

то

.

Якщо - матриця переходу від базису то

,

причому . Тоді

,

і, оскільки

а

,

то

.

Достатність. Припустимо, що - квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі , і в базисі простору її матриця задовольняє умову Сильвестера. Тоді ця матриця задовольняє і умову Якобі, а тому існує базис простору, в якому функція задається канонічною квадратичною формою:

де - всі кутові мінори матриці . За умовою теореми, всі коефіцієнти цієї квадратичної форми додатні. Припустимо, що -довільний вектор, який у базисі задається такими координатами: . Тоді

.

Якщо , то серед координат є ненульові, а тому , тобто, функція додатна.

Зауваження. В процесі доведення останньої теореми фактично було показано, що матриця додатної квадратичної функції на скінченновимірному просторі в будь-якому базисі задовольняє умову Сильвестера.