Закон інерції квадратичних форм
Нехай - квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі над полем . Тоді в будь-якому базисі простору вона задається деякою квадратичною формою. Квадратичну функцію можна звести до канонічного вигляду. Це означає, що шукається базис, у якому функція задається канонічною квадратичною формою. Але цей базис можна знайти різними способами. Тому для даної квадратичної функції існує багато таких базисів і багато канонічних квадратичних форм. Але для всіх цих форм виконується закон інерції квадратичних форм.
Теорема (закон інерції квадратичних форм). Незалежно від способу зведення квадратичної функції на скінченновимірному просторі до канонічного вигляду у відповідних канонічних квадратичних формах число додатних коефіцієнтів, число від’ємних коефіцієнтів, а тому і число ненульових є величинами сталими.
Доведення.
Нехай
- квадратична функція на скінченновимірному
просторі
,
-
базиси простору, в яких функція
задається канонічними квадратичними
формами. Припустимо, що в базисі
функції
відповідає квадратична форма:
У базисі функції відповідає квадратична форма:
Доведемо,
що
Покажемо спочатку,
що
Оскільки в базисі
квадратична функція
задається канонічною квадратичною
формою, то в цьому базисі матриця
квадратичної функції діагональна. На
діагоналі матриці стоять коефіцієнти
при квадратах змінних у квадратичній
формі. Тобто, ранг цієї матриці дорівнює
.
Аналогічно, в базисі
квадратичній функції
відповідає діагональна матриця, ранг
якої дорівнює
.
Вище було показано, що ранг матриці
білінійної функції не залежить від
вибору базису, тому
Покажемо тепер,
що
.
Доведемо це від супротивного. Припустимо,
що
і, для визначеності, покладемо, що
.
Визначимо підпростори:
Тоді
,
але
а тому
.
Тобто, існує
ненульовий вектор
Оскільки
,
то вектор
лінійно виражається через вектори
:
,
тобто, в базисі простору вектор задається такими координатами:
А тому
.
Оскільки
,
то серед координат
існує
принаймні одна ненульова і, враховуючи,
що
одержуємо, що
.
Оскільки
,
то вектор
лінійно виражається через вектори
:
.
Тобто, в базисі вектору відповідають такі координати:
.
Тоді
оскільки
.
Приходимо до суперечності:
Отже,
і, оскільки, за
доведеним,
,
то
.
Зауваження. Під рангом квадратичної функції розуміється ранг її полярної білінійної функції. Ранг білінійної функції дорівнює рангу її матриці в будь-якому базисі. Якщо квадратична функція зводиться до канонічного вигляду, то знаходиться базис, у якому квадратичній функції відповідає діагональна матриця і канонічна квадратична форма. На діагоналі матриці стоять коефіцієнти при квадратах змінних у квадратичній формі. Звідси випливає, що ранг квадратичної функції співпадає з числом ненульових коефіцієнтів у канонічній квадратичній формі, яка відповідає цій квадратичній функції.