Два способи завдання квадратичних функцій

Припустимо, що - квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі , - її полярна білінійна функція, - фіксований базис простору, в якому квадратичній функції відповідає матриця

.

Якщо - довільний вектор, який у даному базисі має такі координати: , то

.

Цей спосіб є матричним способом завдання квадратичної функції.

Перемножимо матриці і отримаємо:

,

або, враховуючи симетричність матриці,

.

Одержуємо квадратичну форму від змінних . Цей спосіб є завданням квадратичної функції за допомогою квадратичної форми.

Припустимо, що в даному базисі квадратична функція задається квадратичною формою. Виникає питання, як знайти матрицю квадратичної функції в цьому базисі. Неважко бачити, що коефіцієнтами при квадратах змінних є діагональні елементи матриці. Припустимо, що всі члени в квадратичній формі зведені, тоді при коефіцієнтом при добутку змінних є сума елементів матриці , причому . Звідси випливають наступні правила побудови матриці квадратичної функції.

1. Визначається, від скількох змінних залежить квадратична форма. Це число дає порядок матриці.

2. На головній діагоналі матриці виписуються коефіцієнти при квадратах змінних.

3. Заповнюється верхній трикутник матриці: на місці ставиться половина коефіцієнта при добутку змінних .

4. Заповнюється нижній трикутник матриці так, щоби матриця була симетричною.

Зведення квадратичної функції до канонічного вигляду

Нехай - квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі , - фіксований базис простору, в якому квадратична функція задається деякою квадратичною формою

.

Квадратична форма називається канонічною, якщо в ній присутні лише квадрати змінних, тобто,

.

Задача зведення полягає в тому, що, користуючись даним базисом простору, знаходиться такий базис простору , у якому квадратична функція задається канонічною квадратичною формою. Зрозуміло, що в такому базисі матриця квадратичної функції є діагональною. Звідси - матричне формулювання задачі. Користуючись матрицею квадратичної функції в даному базисі знайти

невироджену матрицю , таку, що матриця діагональна. Тоді - матриця переходу до нового базису.

Згадаємо деякі факти. Нехай - базиси векторного простору , - матриця переходу від базису до базису . Якщо довільний вектор у базисі задається координатами , а в базисі - координатами , то

або

.

Навпаки, якщо для деякої квадратної матриці виконується:

,

то - матриця переходу від базису . Дійсно, зафіксуємо індекс і, оскільки рівність виконується для будь-якого , покладемо . Тоді вектор в базисі задається такими координатами: , а в базисі - координатами: , де координата 1 знаходиться на -му місці. Тоді

Це означає, що вектор-стовпчик

співпадає з -м стовпчиком матриці . Тобто, матриця складається з координат

векторів у базисі . Отже, матриця є матрицею переходу від базису

.