3. Физико-математическая модель движения пузырька в вязкой жидкости с учетом присоединенной массы и силы Бассе
Интерес к данной проблеме связан также с экспериментальными и теоретическими трудностями моделирования движения двухфазной системы ввиду сложности регистрирования быстропротекающих процессов и малых значений динамических параметров, требующих использование чувствительных элементов, и корректного построения моделей с учетом нестационарных слагаемых в уравнении движения, соответственно. В данном разделе мы приведем физико-математическую модель движения пузырька в вязкой жидкости с учетом присоединенной массы и силы Бассе и аналитическое решение для скорости всплытия пузыря для двух случаев:
в случае присутствия в жидкости поверхностно–активных веществ (ПАВ) [30]
случай без ПАВ, когда необходимо использовать поправку Адамара–Рыбчинского в силе сопротивления
3.1. Физико-математическая модель движения пузырька в случае присутствия в жидкости поверхностно–активных веществ (пав)
В отличие от известных работ, посвященных данной проблеме, обзор которых приведен во введении, мы исследуем режим движения пузырька при малых числах Рейнольдса (Re<1).
Математическая модель строится при следующих допущениях:
1. Число Рейнольдса Re<1
2. В жидкости имеются поверхносно–активные вещества (ПАВ), которые препятствуют движению жидкости на поверхности пузыря. Поэтому обтекание пузыря происходит также, как и обтекание твердого шарика.
Введем обозначения:
r
– радиус пузыря;
- плотность жидкости;
- скорость пузыря;
t
– время;
- коэффициент динамической вязкости; g
– ускорение силы тяжести.
На пузырь действуют силы:
1. инерции
(масса газа в пузыре мала по сравнению
с присоединенной массой жидкости).
2. вязкого
сопротивления -
.
3. ускорение силы
тяжести
- сила Архимеда.
4. сила Бассэ
[30].
Приравнивая эти
силы, получаем уравнения движения пузыря
(далее
)
.
(1)
Поделим это
уравнение на присоединенную массу
жидкости
.
Получаем
.
Введем характерное
время
и безразмерное время
.
Получим
,
где g<0.
В дальнейшем будем
предполагать, что при
[30]. Фактически это означает, что при
пузырек неподвижно закреплен. При этом
предположении уравнения движения
принимают вид:
.
(2)
Так как
при
,
второе слагаемое в левой части можно
представить в виде
и записать уравнение в форме
.
Для ускорения
пузыря введем обозначение
и получим уравнение
.
(3)
Последнее уравнение
решено операционным методом И.М. Васениным
[29]. Полагаем
.
При переходе к изображениям воспользуемся
теоремой об интегрировании оригинала,
согласно которой
и теоремой умножения Бореля
.
(См. [30]).
В результате перехода к изображениям из (3) получим
.
Отсюда выражаем
.
С целью нахождения оригинала представим эту формулу в виде
,
где
.
(4)
Согласно [30] оригинал
равен
,
(5)
где
.
В нашем случае
и оригинал можно вычислить по второй
теореме разложения, согласно которой
,
где вычеты берутся по особым точкам
функции
[30].
Полагая
находим особые точки
и
.
Каждая из этих точек представляет собой
полюс первого порядка, а функция
является
дробно-рациональной функцией вида
.
Для таких функций
[30].
Используя эту формулу, находим
,
.
Подставляя сумму вычетов в формулу (5) получим
(6)
Преобразуем каждый из двух интегралов, входящих в (6)
Аналогично
найдем
.
Таким образом,
(7)
Интегрируя по
с начальными условиями
получим
(8)
Интегралы вычисляем по частям
Аналогично
Подставляя интеграл в (8) после приведения подобных найдем
Проверка:
При
,
и поэтому при
,
,
соответственно,
.
Последний результат есть решение
уравнения (8) при
,
что соответствует выходу на стационарную
скорость подъема пузырька.