20. Задача по управлению производственным сектором экономики и структурная форма модели Леонтьева «затраты-выпуск».

Экономика страны делится на производственный (электро-, теплоэнергия, нефтеобрабат., нефтнперерабат., машины и оборудование, услуги финансового посредничества) и непроизводственный сектор.

Исходными данными задачи Леонтьева являются уровни конечной продукции отраслей на планируемом отрезке времени. Их обозначение – Y₁, Y₂,…,Y_n, выражены в денежной мере.

Конечная продукция отрасли – часть валового выпуска отрасли, которая идёт населению страны (конечному потребителю).

Остальная часть валового выпуска отрасли предназначена производственному сектору, включая саму эту отрасль, для обеспечения производственных процессов и называется промежуточной продукцией отрасли.

Искомыми неизвестными считаются величины двух типов: уровни валовых выпусков отраслей на планируемом отрезке времени. Обозначение x₁,x₂,…,x_n, выражены в денежной мере.

Искомые величины второго типа – межотраслевые поставки промежуточной продукции отраслей. Обозначаются символами x_ij и объединяются в матрицу межотраслевых поставок:

x_i,j - количество продукции отрасли i, которое необходимо отрасли j в её технологическом процессе по производству требуемого валового выпуска x_j.

Взаимосвязи исходных данных и исходных неизвестных в задаче Леонтьева:

x_i=z_i+y_i (1)(валовый выпуск отрасли = промежуточная + конечная продукция отрасли) Кол-во уравнений = кол-ву отраслей = n.

Уравнение Вальраса: z_i = x_i,1+x_i,2+x_i,3+…+x_i,n (2)(сумма межотраслевых поставок данной отрасли)

Уравнения (1) и (2)-взаимосвязь исходных данных и искомых неизвестных задачи. Общее число уравнений- 2n, кол-во неизвестных – n+n² => для расчета искомых величин потребуются доп. условия- ограничения.

x_ij = a_ij * x_j, a_ij (a_ij – технолог. коэффиц. – норма затрат продукта i-той отрасли в отрасли j или предельная поставка продукта i-той отрасли в отрасль j (дополнительное кол-во продукта i-той отрасли, которое потребуется в ответ на доп. единицу валового выпуска j-той отрасли))

Матрица технологических коэффиц. (определяется эконометрикой по статистической информации)(элементы являются параметрами модели Леонтьева):

Структурная форма модели Леонтьева.

Модель промежуточной продукции отрасли:

Тогда

–структурная форма модели Леонтьева «затраты – выпуск», система n алгебраических уравнений с n неизвестными.

Компактная запись модели «З-В»:

Для n=2: Первое слагаемое в правой части – величина x₁₁-межотраслевая поставка первой отрасли себе, второе - межотраслевая поставка x₁₂

первой во вторую, сумма поставок - промежуточная продукция первой отрасли.

21. Достаточное условие продуктивности матрицы технологических коэффициентов и его экономическое обоснование.

Обсудим простейшие свойства технологических коэффициентов.

1. Все они (все а_ij ≥0) должны быть неотрицательными, так как это нормы затрат.

2. Второе свойство имеет облик неравенства:

0≤ а_ij ≤1(1)

Оно означает, что каждая отрасль не является черной дырой. Обоснуем данное свойство, обратившись к модели межотраслевых поставок, где, положим, i=g. Так как х_ij заведомо меньше х_i, то справедливо неравенство: а_ij = х_ij / х_i < 1. Неравенство (1) обосновано.

Достаточное условие продуктивности

Если справедливо max ∑ⁿ_j=1а_i < 1, то матрица продуктивна. Т. е. если максимальная сумма элементов матрицы по столбцам должна быть меньше 1.

Критерий продуктивности (необходимое и достаточное условие): max |λ_i(A)| < 1. Матрица А продуктивна, тогда и только тогда, когда максимальное по модулю собственное число меньше 1.