Билет № 20.

3. Найдите площадь круга, описанного около правильного шестиугольника со стороной 3 см.

Решение. Сторона правильного 6-угольника связана с радиусом описанной окружности формулой: а6 = R. ; . Ответ.

3. Большее основание равнобедренной трапеции равно 8 м, боковая сторона равна 9 м, а диагональ равна 11 м. Найдите меньшее основание трапеции.

Решение. Рассмотрим трапецию АВСЕ: АВ = СЕ = 9м, ВЕ = 11 м, АЕ = 8м. , как накрест лежащие. Из треугольника АВЕ по теореме косинусов: . . Из треугольника ВСЕ по теореме косинусов: Обозначив ВС = х, получим уравнение (не подходит). ВС = 5м. Ответ.5 м.

Билет № 21.

3. В окружность вписан прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 8 см. Найдите длину этой окружности.

Решение. Если прямоугольник вписан в окружность, то его диагональ является диаметром окружности. По теореме Пифагора: . Ответ.

3. Найдите площадь параллелограмма ОМРК, если его сторона КР равна 10 м, а сторона МР, равная 6 м, составляет с диагональю МК угол, равный 45⁰.

Решение. Проведем высоту треугольника КРМ – РН. Так как треугольник РМН – прямоугольный, , то МН = НР = см. Из прямоугольного треугольника КНР по теореме Пифагора находим: , Ответ. .

Билет № 22.

3. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей удалена от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 56 см.

Решение. Рассмотрим прямоугольник АВСЕ, О – точка пересечения диагоналей. ОУ и ОХ – расстояния от точки О до сторон АВ и АЕ соответственно. По свойству средней линии треугольника АВ = 2ОХ, АЕ = 2ОУ. Получим: ОХ + ОУ = Р : 4 = 14, но по условию, ОУ – ОХ = 4. Отсюда: ОХ = 5, ОУ=9. Значит, АВ = 10 см, АЕ = 18 см. Ответ.10 см, 18 см.

3. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если средняя линия трапеции равна 12 м, а косинус угла при основании трапеции равен .

Решение. Рассмотрим трапецию АВСЕ, cos А = . Проведем высоту ВН. Тогда r = BH/2. Т.к. средняя линия трапеции равна 12 м, то ВС + АЕ =24м. Т.к. трапеция описанная, то и АВ + СЕ = 24 м. и т.к. трапеция равнобедренная, то АВ = СЕ = 12м. Из прямоугольного треугольника АВН: , ; r = 4,5 м Ответ.4,5 м.