Билет № 16.

3. В равностороннем треугольнике проведены две медианы. Найдите величину острого угла, образовавшегося при их пересечении.

Решение. Рассмотрим равносторонний треугольник АВС: Медианы АК и ВМ, пересекающиеся в точке О, являются так же биссектрисами и высотами. Значит, Ответ. .

3. Средняя линия трапеции равна 15 м, сумма углов при одном из оснований равна 90⁰. Найдите площадь трапеции, если одна боковая сторона равна м, а разность оснований равна 10 м.

Решение. Рассмотрим трапецию ABCD: . Пусть ВС = х. Тогда AD = х + 10 и . ВС = 10 м. Дополнительное построение: . Тогда ABCN – параллелограмм, BC = AN = 10 м. Но тогда ND = 10 и по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, . Но тогда и, следовательно, - прямоугольный. По теореме Пифагора из : . , Ответ.

Билет № 17.

3. Стороны прямоугольника равны 72 см и 8 см. Найдите сторону равновеликого ему квадрата.

Решение. Площадь прямоугольника: . Сторона квадрата: Ответ. 24 см.

3. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка К. Известно, что сумма углов В и С равна углу АКВ, АК = 5 м, ВК = 16 м и КС = 2 м. Найдите сторону АВ.

Решение. Так как угол АКВ – внешний для треугольника АКС, то . Но по условию . Значит, . , - общий по двум углам. Из подобия треугольников следует: . Также Ответ. 10м.

Билет № 18.

3. Средняя линия трапеции равна 8 см и делится диагональю на два отрезка, разность между которыми равна 2 см. Найдите основания трапеции.

Решение. Рассмотрим трапецию ABCD , MN – средняя линия, MN AC=P, NP – MP = 2см. Пусть ВС = х, AD = y. MP – средняя линия треугольника АВС, следовательно, МР=х/2. Аналогично, NP = у/2. Так как MN=8 см, получим систему уравнений: . Откуда: х = 6, у = 10. Ответ. 6см, 10см.

3. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС = м, ВС = 10 м, .

Решение. Пусть АМ = х. Из треугольника АМС по теореме косинусов: , ; х =7 или х = - 1(не подходит). АМ =7см , Т.к. АМ – медиана, то Ответ.

Билет № 19.

3. Найдите углы ромба, если известно, что его периметр равен 8 см, а высота ромба равна 1см.

Решение. Рассмотрим ромб АВСЕ. АВ = Р :4 = 2 см. По условию высота АН = 1 см. Тогда в прямоугольном треугольнике АВН : АВ = 2АН. Следовательно, угол АВН равен 300. По свойствам ромба: . Ответ. 300, 1500.

3. В равнобедренную трапецию с боковой стороной , равной 10 м, вписана окружность радиуса 3 м. Найдите площадь трапеции.

Решение. Рассмотрим трапецию АВСЕ: АВ = СЕ = 10м, проведем высоту ВН. Так как окружность вписана в трапецию, то ВН = 2r =6 м. Т.к. трапеция вписанная, то АВ+СЕ=ВС+АЕ = 20 м; Ответ.60 м2.