Билет № 6.

3. В остроугольном равнобедренном треугольнике угол между основанием и высотой, проведенной к боковой стороне, равен 34⁰. Найдите углы этого треугольника.

Решение. Рассмотрим : АВ = ВС, АН – высота, . Из треугольника АСН: Так как треугольник равнобедренный, то . Ответ. 560, 560, 680.

3. Диагонали трапеции АВМК пересекаются в точке О. Основания трапеции ВМ и АК относятся соответственно как 2:3. Найдите площадь трапеции, если известно, что площадь треугольника АОВ равна 12 см².

Решение. Рассмотрим треугольники ВОМ и АОК: как накрест лежащие при параллельных прямых ВМ и АК и секущей ВК. как вертикальные. Значит, треугольники ВОМ и АОК подобны по двум углам. Следовательно, ВО:ОК = ОМ:ОА = ВМ:АК = 2:3 По теореме об отношении площадей треугольников, имеющих равные высоты, получим: SAOB:SDOM = 3:2, значит, SBOM = 8 см2. SAOB:SAOK = 2:3 , значит, SAOK = 18 см2 SBOM:SMOK = 2:3, значит, SMOK = 12 см2. SABMK = SAOB + SBOM + SAOK + SMOK = 12 + 8 + 12 + 18 = 50 см2 Ответ. 50 см2

Билет № 7.

3. Найдите сторону ромба, если известно, что его диагонали равны 24см и 32см.

Решение. Рассмотрим ромб АВСЕ. АС = 24 см, ВЕ = 32 см. О – точка пересечения диагоналей. По свойствам диагоналей ромба АО = ОС = 12 см, ВО = ОЕ = 16 см, . Из треугольника АОВ по теореме Пифагора находим: Ответ. 20 см.

3. Найдите площадь правильного многоугольника, если его внешний угол равен 30⁰, а диаметр описанной около него окружности равен 8 см.

Решение. Так как сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 3600, то количество углов многоугольника: 3600 : 300 = 12. Рассмотрим треугольник А1ОА2: А1О = А2О = R, так как 12-угольник правильный, то его площадь S1 = Площадь всего 12-угольника: S = 12 Ответ.

Билет № 8.

3. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что его гипотенуза равна см, а один из острых углов в два раза больше другого.

Решение. Пусть в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С угол А в 2 раза больше угла В. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 900, то . Катет АС, лежащий против угла в 300, равен 1/2 гипотенузы АВ, значит, . СВ = = 9см. Ответ. 3 см, 9см.

3. К окружности проведены касательные МА и МВ (А и В – точки касания). Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 20 см, а расстояние от точки М до хорды АВ равно 9 см.

Решение. Проведем отрезок МО. По теореме об отрезках касательных, МА = МВ, МО - биссектриса угла М . Тогда МН = 9 см– данное расстояние. Рассмотрим треугольник МАО: Т.к. МА – касательная, то . АН – высота, АН = АВ:2 ( т.к. треугольник АМВ – равнобедренный) . Обозначим ОН = х. По теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике: . Из прямоугольного треугольника МАН по тореме Пифагора: , АВ = 24 см. Ответ. 24см.