5.5Перенос ответвления через звено

Пусть для схемы (рисунок 5.13,а) требуется перенести ответвление через звено вправо или влево так, чтобы соотношение между сигналами X₀, X₁ и X₂ сохранилось.

Для исходной схемы уравнение связи между выходными координатами X₁, X₂ и входным воздействием X₀ имеет вид:

(5.140)

5.5.1Перенос ответвления на выход

При переносе ответвления на выход (вправо – рисунок 5.13,б) в схему для сохранения эквивалентности необходимо ввести дополнительное звено в канале выходного сигнала X₁ с передаточной функцией 1/W₂.

Доказательство:

Обозначим передаточную функцию добавочного звена как W. Тогда для рисунке 5.13,б уравнение связи выходных координат X₁ и X₂ от внешнего воздействия X₀ имеет вид:

(5.141)

Сравнивая (5.28) и (5.27) можно видеть, что W=1/W₂.

5.5.2Перенос ответвления на вход

При переносе ответвления на вход (влево – рисунок 5.13,в) в схему для сохранения эквивалентности необходимо ввести дополнительное звено в канале выходного сигнала X₁ с передаточной функцией W₁.

Доказательство:

Обозначим передаточную функцию добавочного звена как W. Тогда для рисунке 5.13,в уравнение связи выходных координат X₁ и X₂ от внешнего воздействия X₀ имеет вид:

(5.142)

Сравнивая (5.29) и (5.27) можно видеть, что W=W₁.

5.6Вопросы для самопроверки

1. Что понимается под структурной схемой?

2. Выведите формулу замены последовательно соединенных звеньев одним эквивалентным.

3. Проиллюстрируйте построение эквивалентной ЛАФЧХ.

4. Выведите формулу замены параллельно соединенных звеньев одним эквивалентным. Проиллюстрируйте построение эквивалентной ЛАФЧХ аппроксимированным методом.

5. Поясните как воспользоваться номограммой замыкания для построения эквивалентной ЛАФЧХ.

6. По каким правилам производят перенос узлов сравнения или ответвления через звенья?

5.7Рекомендуемая литература

- /1/, гл. IX,

- /2/, гл. 1,

- /4/, гл. 1.

6Устойчивость сау

Под устойчивостью понимается способность системы возвращаться к установившемуся режиму работы после приложения или снятия внешних воздействий.

На рисунке 6.1 показаны примеры устойчивой, неустойчивой системы и находящейся на границе устойчивости.

Очевидно, что в устойчивой системе после приложения и снятия воздействия f система возвратиться в исходное положение. В неустойчивой системе после приложения и снятия воздействия f система уже никогда не придет в устойчивое состояние. В системе же, находящейся на границе устойчивости, после приложения и снятия воздействия f система придет в другое, отличное от первоначального, устойчивое положение.

6.1Условия устойчивости

Любая система будет устойчивой, если переходные процессы, вызванные внешними воздействиями, с течением времени будут затухать.

Поведение любой системы математически записывается в виде:

(6.1)

,

где – свободная составляющая выходной координаты, которая характеризует переходной процесс,

– принужденная составляющая выходной координаты, которая характеризует закон изменения выходной координаты после окончания переходного процесса. Другими словами данная составляющая определяет поведение системы при приложении возмущающих воздействий.

Свободная составляющая находится по формуле:

(6.2)

,

где - коэффициент, зависящий от начальных условий,

- действительная часть корней характеристического уравнения ¹,

- соответственно мнимая часть корней характеристического уравнения и начальная фаза, определяемая из начальных условий.

Из уравнения (6.2) следует, что система будет устойчивая, если все действительные составляющие корней характеристического уравнения будут отрицательными. Если хотя бы один действительный корень будет положительным, то соответствующая экспонента будет с течением времени бесконечно возрастать.

Исходя из этого предположения, русским ученым Ляпуновым были сформулированы следующие основные теоремы устойчивости.

Теорема 1. Если все действительные составляющие корней характеристического уравнения математической модели САУ отрицательные, то реальная система будет устойчивой, и никакие малые неучтенные параметры не изменят устойчивости системы.

Теорема 2. Если хотя бы одна действительная составляющая корней характеристического уравнения математической модели САУ будет положительной (при прочих отрицательных), то реальная система будет неустойчивой, и никакие малые неучтенные параметры не приведут систему к устойчивости.

Теорема 3. Если хотя бы одна действительная часть корней характеристического уравнения математической модели САУ будет нулевой при прочих отрицательных, то реальная система будет находиться на границе устойчивости (система нейтральная), и любые малые неучтенные параметры могут сделать систему как устойчивой, так и неустойчивой.

Таким образом, для определения устойчивости необходимо определить только знак действительных составляющих корней характеристического уравнения системы, не вычисляя полного значения корней уравнения.

Решение данной задачи упрощается, используя частотные методы анализа характеристического уравнения.