31.Функция и плотность распределения вероятностей

Функцией распределения называют функцию  , определяющую вероятность того, что случайная величина   в результате испытания примет значение, меньшее  , т.е.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины   называют функцию   — первую производную от функции распределения  :

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Математическое ожидание случайной величины Х указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения Х. Для дискретной случайной величины, которая может принимать лишь конечное число возможных значений, математическим ожиданием называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений:       .                                                       (2.4)      Для непрерывной случайной величины Х, имеющей заданную плотность распределения φ(x) математическим ожиданием называется  следующий интеграл:       .                                               (2.5) Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания      D(X) = M(X –М(Х))².      Дисперсию случайной величины Х удобно вычислять по формуле:      а) для дискретной величины       ; (2.6)      б) для непрерывной случайной величины       j(х)dx – [M(X)]² .                               

     Модой дискретной случайной величины, обозначаемой Мо, называется ее наиболее вероятное значение (рис. 2.3), а модой непрерывной случайной величины – значение, при котором плотность вероятности максимальна (рис. 2.4).                             Рис. 2.3                                      Рис. 2.4      Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение Ме, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Ме, т.е.      Р(Х < Ме) = Р(X > Ме)

32.Законы распределения.

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины   выражается формулой

Кривая распределения изображена на рис. 16. Она симметрична относительно точки   (точка максимума). При уменьшении   ордината точки максимума неограниченно возрастает, при этом кривая пропорционально сплющивается вдоль оси абсцисс, так что площадь под её графиком остаётся равной единицы (рис. 17).

числовые характеристики нормально распределённой случайной величины (математическое ожидание и дисперсия):

Равномерный закон распределения

Случайная величина   называется распределённой равномерно на отрезке  , если её плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке:

Все возможные значения равномерно распределённой случайной величины лежат в пределах некоторого интервала; кроме того. в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны (обладаю одной и той же плотностью вероятности). Равномерно распределение реализуется в экспериментах, где наудачу ставиться точка на отрезке   (  — абсцисса поставленной точки). Равномерно распределённая случайная величина встречается также в измерительной практике при округлении отчётов измерительных приборов до целых делений шкал. 

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределённой случайной величины

 Определение: Непрерывная случайная величина X, функция плотности которой задается выражением

называется случайной величиной, имеющей показательное, или экспоненциальное, распределение.

Величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств при выполнении определенных условий обычно подчиняется показательному распределению. Другими словами, величина промежутка времени между появлениями двух последовательных редких событий подчиняется зачастую показательному распределению.

33.Неравенство Чебышева.Закон больших чисел и его следствия. Теоремы Чебышева, Бернулли и Пуассона.

Изучение статистических закономерностей позволило установить, что при некоторых

условиях суммарное поведение большого количества случайных величин почти утрачи-

вает случайный характер и становится закономерным (иначе говоря, случайные отклоне-

ния от некоторого среднего поведения взаимно погашаются). В частности, если влияние

на сумму отдельных слагаемых является равномерно малым, закон распределения суммы

приближается к нормальному. Математическая формулировка этого утверждения дается в

группе теорем, называемой законом больших чисел.

Неравенство Чебышева.-справедливо как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин.

Теорема (неравенство Чебышева). p( | X – M(X)| < ε ) ≥ D(X) / ε²

Теорема (теорема Чебышева).  Если Х₁, Х₂,…, Х_п — попарно независимые случайные величины, дисперсии которых равномерно ограничены ( D(X_i) ≤ C), то для сколь угодно малого числа ε вероятность неравенства будет сколь угодно близка к 1, если число случайных величин достаточно велико.

Следствие.Если Х₁, Х₂, …, Х_п — попарно независимые случайные величины с равномерно ограничен-ными дисперсиями, имеющие одинаковое математическое ожидание, равное а, то для любого сколь угодно малого ε > 0 вероятность неравенства  будет как угодно близка к 1, если число случайных величин достаточно велико. 

Теорема Бернулли.

Теорема (теорема Бернулли). Если в каждом из п независимых опытов вероятность р появления события Апостоянна, то при достаточно большом числе испытаний вероят-ность того, что модуль отклонения относительной частоты появлений А в п опытах от р будет сколь угодно малым, как угодно близка к 1

Пуассона теорема, -  Если в последовательности независимых испытаний событие А наступает с вероятностями p_k, зависящими от номера испытания k, k=1,2, . . ., m_n/n - частота А в первых испытаниях, то при любом e>0 вероятность неравенства 

будет стремиться к 1 при  . 

34. Математическая статистика

 Математическая статистика – раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называют сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.

Предмет и задачи математической статистики Математическая статистика – это наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных. Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных — результатов наблюдений.  Первая задача математической статистики—указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.  Вторая задача математической статистики—разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Сюда относятся: а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.; б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен. Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.  Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.   Генеральная и выборочная совокупности. Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качествен­ного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным—контролируемый размер детали. Иногда проводят сплошное обследование, т. е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению. Различают генеральную и выборочную совокупности:  Генеральной совокупностью называют совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, или совокупность результатов всех мыслимых наблюдений,  проводимых в неизменных условиях над одной из случайных величин, связанных с данным видом объектов. Замечание: Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов.  Выборочной совокупностью называют часть отобранных объектов из генеральной совокупности.

По способу организации различают следующие виды выборок:

собственно случайную (простую)

• типическую

• механическую

• серийную

По степени охвата единиц исследуемой совокупности различают большие и малые выборки. В зависимости от способа отбора единиц различают:

1. отбор по схеме возвращенного шара, обычно называемый повторной выборкой. При повторном отборе вероятность попадания каждой отдельной единицы в выборку остается постоянной, так как после отбора какой то единицы (шара) она (он) снова возвращается в совокупность (в урну) и снова может быть выбранной (выбран);

2. отбор по схеме невозвращенного шара, называемой бесповторной выборкой В этом случае каждая повторная единица не возвращается обратно, и вероятность попадания отдельных единиц в выборку все время изменяется. 

Существует 2 вида отбора: 1.Индивидуальный: случайный, механический, стратифицированный 2.Серийный Помимо этого различают: 1.Комбинированный 2.Ступенчатый 3.Многфазный Любой из этих видов отбора может быть повторный и бесповторный. По степени охвата единиц изучаемой совокупности выделяют малые и большие выборки. Случайный отбор осуществляется с помощью жеребьевки или по табл. случайных чисел. При механическом отборе выбираютсяn/N элемента, если единицы совокупности не ранжированы, то 1-й элемент выбирается наугад. Если ранжированный, то из середины 1-й 100-и. Принцип случайного отбора в механической выборке обеспечивается тем, что единицы ген. Совокупности располагаются в том порядке, который не оказывает влияния на поведение изучаемого признака.

Статистическим распределением выборки называют пе­речень вариант и соответствующих им частот или относи­тельных частот. Статистическое распределение можно за­дать также в виде последовательности интервалов и соответ­ствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

В результате статистической обработки материалов можно подсчитать число единиц, обладающих конкретным значением того или иного признака. Каждое отдельное значение признака будем обозначать   и называть вариантой, а абсолютное число, показывающее, сколько раз встречается та или иная варианта, — частотой и обозначать  .

Если отдельные значения признака (варианты) расположим в возрастающем или убывающем порядке и относительно каждой варианты укажем, как часто она встречается в данной совокупности, то получим статистическое распределение признака, или вариационный ряд. Он характеризует изменение (варьирование) какого-нибудь количественного признака. Следовательно, вариационный ряд представляет собой две строки (или колонки). В одной из них приводятся варианты, в другой — частоты.

Вариация признака может быть дискретной и непрерывной. Дискретной называется вариация, при которой отдельные значения признака (варианты) отличаются друг от друга на некоторую конечную величину (обычно целое число); Например: количество детей в семье; оценки, полученные студентами на экзамене; размеры обуви, проданной за день фирмой.

Непрерывной называется вариация, при которой значения признака могут отличаться одно от другого на сколь угодно малую величину. Например: стоимость реализованной продукции; уровень рентабельности предприятия; процент занятости трудоспособного населения; депозитная ставка коммерческих банков.

При непрерывной вариации распределение признака называется интервальным. Частоты относятся не к отдельному значению признака, а ко всему интервалу. Часто значением интервала принимают его середину, т. е. центральное значение.

35.Статистическое оценивание и проверка гипотез.. точечная и интервальная оценки. Доверит инткрвалы. Проверка статистич гипотез. Проверка гипотезы распределении генеральной совокупности. Критерий Пирсона.

Оценивание – это определение приближенного значения неизвестной характеристики или параметра распределения (генеральной совокупности), иной оцениваемой составляющей математической модели реального (экономического, технического и др.) явления или процесса по результатам наблюдений. 

Оценивание проводят с помощью оценок – статистик, являющихся основой для оценивания неизвестного параметра распределения.

Оценивание бывает двух видов – точечное оценивание и оценивание с помощью доверительной области.

Точечное оценивание - способ оценивания, заключающийся в том, что значение оценки принимается как неизвестное значение параметра распределения.

 При оценке одного числового параметра в качестве доверительных областей обычно применяют доверительные интервалы (в том числе лучи)

доверительный интервал – это интервал, который с заданной вероятностью накроет неизвестное значение оцениваемого параметра распределения. Границы доверительного интервала называют доверительными границами. Доверительная вероятность γ – вероятность того, что доверительный интервал накроет действительное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным. Оцениванием с помощью доверительного интервала называют способ оценки, при котором с заданной доверительной вероятностью устанавливают границы доверительного интервала.