Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение. 5. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых

Если существует предел  , то функция   называетсябесконечно малой в точке  .

Существенным моментом утверждения является тот факт, что функция может быть бесконечно малой лишь в конкретной точке.

Начертим знакомую линию  : Данная функция бесконечно малА в единственной точке:  Следует отметить что, в точках «плюс бесконечность» и «минус бесконечность» эта же функция будет уже бесконечно большой:  . Или в более компактной записи: 

Во всех других точках, предел функции будет равен конечному числу, отличному от нуля.

Таким образом, не существует такого понятия как «просто бесконечно малая функция» или «просто бесконечно большая функция». Функция может быть бесконечно малой или бесконечно большой только в конкретной точке.

Таких точек может быть несколько и даже бесконечно много. Изобразим какую-нибудь непуганую параболу: Представленная квадратичная функция является бесконечно малой в двух точках – в «единице» и в «двойке»: 

Как и в предыдущем примере, на бесконечности данная функция является бесконечно большой: 

Сравнение бесконечно малых функций

Рассмотрим следующую бесконечно малую функцию:

Да, совершенно понятно, что предел равен нулю, но обратим внимание на довольно любопытную вещь: в пределе находится сумма функций  , и некоторые из них будут стремиться к нулю быстрее, а некоторые – медленнее.

Построим последовательность  , которая стремится к нулю, и вычислим несколько значений трёхчлена  :

Очевидно, что с уменьшением значений «икс», функция   убегает к нулю быстрее всех остальных (её значения обведены красным цветом). Говорят, что функция   более высокого порядка малости, чем функции  , а также более высокого порядка малости, чем 

Но «тон задаёт» самый нерасторопный карлик  идёт к нулю медленнее всех. Именно от него зависит, насколько быстро сумма   приблизится к нулю:

Образно говоря, бесконечно малая функция   «поглощает» всё остальное, что особенно хорошо видно по итоговому результату третьей строки. Иногда говорят, что   более низкого порядка малости, чем   и их сумма.

Обозначение: эквивалентность обозначается значком «тильда».  Например:   – «синус икса эквивалентен иксу», если  .

1) Решим предел  . Заменим бесконечно малую функцию числителя   на эквивалентную бесконечно малую функцию  :

Почему можно провести такую замену? Потому что бесконечно близко вблизи нуля график функции   практически совпадает с графиком функции  .

В этом примере мы использовали табличную эквивалентность  , где  . Удобно, что в качестве параметра «альфа» может выступать не только «икс», но и сложная функция,которая стремится к нулю.

2) Найдём предел  . В знаменателе используем эту же эквивалентность  , в данном случае  :

Обратите внимание, что синус изначально находился под квадратом, поэтому на первом шаге   тоже необходимо целиком поместить под квадрат.

Не забываем и про теорию: в первых двух примерах получены конечные числа, значит,числители и знаменатели одного порядка малости.

6. Пример первого замечательного предела  .

Дадим геометрическое истолкование 1-го замечательного предела. Выполним чертёж: Ну вот, крепкая мужская дружба графиков виднА даже невооруженным взглядом. Абесконечно близко вблизи нуля их и мама родная не отличит. Таким образом, если  , то функции   бесконечно малЫ и эквивалентны. А если разница ничтожно мала? Тогда в пределе   синус вверху можно заменить «иксом»:  , или «икс» внизу синусом:  . По сути, получилось геометрическое доказательство первого замечательного предела =)