29. Вероятность появления хотя бы одного события..

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁ , А₂ , ..., А_n , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Р (A) = 1 — q₁q₂ ... q_n.(*)

Формула полной вероятности и формула Байеса

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий  , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события Авычисляется по формуле

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий  , вероятности появления которых  . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий  , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез  .

По теореме умножения вероятностей

,

откуда

.

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). 

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.Примеры повторных испытаний:

1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;

2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не учитывается).

формула Бернулли

30.Случайные величины и способы их описания

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее какое именно.

Случайные величины могут быть:

дискретными (если количество возможных значений конечно);

непрерывными.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения прерывной случайной величины Х может быть задан в следующих формах: • табличной; • аналитической; • графической.

Простейшей формой задания закона распределения прерывной случайной величины Х является таблица.

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

Такую таблицу называют рядом распределения случайной величины Х.

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению.

числовые характеристики, которые в зависимости от рода информации делятся на следующие группы.      1. Характеристики положения случайной величины на числовой оси (мода Мo, медиана Мe, математическое ожидание М(Х)).      2. Характеристики разброса случайной величины около среднего значения (дисперсия D(X), среднее квадратическое отклонение σ(х)).      3. Характеристики формы кривой y = φ(x) (асимметрия As, эксцесс Ех).          Математическое ожидание случайной величины Х указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения Х. Для дискретной случайной величины, которая может принимать лишь конечное число возможных значений, математическим ожиданием называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений:       .                                                       (2.4)      Для непрерывной случайной величины Х, имеющей заданную плотность распределения φ(x) математическим ожиданием называется  следующий интеграл:       .                                               (2.5)          Свойства математического ожидания:      1. М(С) = C, где С = const;      2. M(C∙Х) = С∙М(Х);      3. М(Х ± Y) = М(Х) ± М(Y), где X и Y – любые случайные величины;      4. М(Х∙Y)=М(Х)∙М(Y), где X и Y – независимые случайные величины.      Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.      Модой дискретной случайной величины, обозначаемой Мо, называется ее наиболее вероятное значение (рис. 2.3), а модой непрерывной случайной величины – значение, при котором плотность вероятности максимальна (рис. 2.4).                             Рис. 2.3                                      Рис. 2.4      Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение Ме, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Ме, т.е.      Р(Х < Ме) = Р(X > Ме)          Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания      D(X) = M(X –М(Х))².      Дисперсию случайной величины Х удобно вычислять по формуле:      а) для дискретной величины       ; (2.6)      б) для непрерывной случайной величины       j(х)dx – [M(X)]² .                                (2.7)      Дисперсия обладает следующими свойствами:      1. D(C) = 0,   где С = const;      2. D(C×X) = C²∙D(X);      3. D(X±Y) = D(X) + D(Y), если X и Y независимые случайные величины.      Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется арифметический корень из дисперсии, т.е.       σ(X) = .      Заметим, что размерность σ(х) совпадает с размерностью самой случайной величины Х, поэтому среднее квадратическое отклонение более удобно для характеристики рассеяния.