13.Дифференцирование сложной и обратной функции. Производные высших порядков
дифференцирование сложной функции
Пусть функция x = (t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x = (t). Тогда сложная функция y = f((t)) дифференцируема в точке t, причем справедлива формула
(f((t)))' = f'(x)'(t). |
производная обратной функции.
Пусть функция y = f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x и f'(x)0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y = f(x) определена обратная функция x = f-1(y), причем обратная функция дифференцируема в точке x = f-1(y) и для ее производной справедлива формула
(f-1(y))' = 1/f'(x).
Производные высших порядков
Предположим, что функция f'(x) является дифференцируемой в некоторой точке x интервала (a,b), то есть имеет в этой точке производную. Тогда данную производную называют второй произвоьдной и обозначают f(2)(x), f''(x) или y(2), y''(x). Аналогично можно ввести понятие второй , третьей и т. д. производных. По индукции можно ввести понятие n- ой производной:
y(n) = (y(n-1))'.
|
14.Теоремы о дифференцируемых функциях.
Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема (Ролля). Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b) , f(a) = f(b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка , такая, что f() = 0.
Доказательство. Известно, что непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба значения достигаются на концах отрезка, то они равны по условию, а это означает, что функция тождественно постоянна на [a,b]. Тогда производная такой функции равна нулю. Если же хотя бы одно из значений - максимальное или минимальное - достигается внутри отрезка, то производная равна нулю в силу теоремы Ферма.
Теорема (Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка , такая, что
f'() = (f(b)-f(a))/(b-a). Доказательство. Введем новую функцию g(x) = f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a). Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), g(a) = g(b) = 0. Следовательно, найдется точка (a,b), такая, что g'() = f'()-(f(b)-f(a))/(b-a) = 0. Отсюда f'() = (f(b)-f(a))/(b-a).
Теорема
(правило Лопиталя). Пусть
множество limx af(x) = limx ag(x) = 0. Тогда если существует limx af'(x)/g'(x), то существует и предел limxaf(x)/g(x), причем справедливо соотношение limx af(x)/g(x) = limx af'(x)/g'(x).
15. Определение возрастающей функции.
Функция y=f(x) возрастает
на интервале X,
если для любых Определение убывающей функции.
Функция y=f(x) убывает
на интервале X,
если для любых
и
выполняется
неравенство
Точки экстремума, экстремумы функции.
Точку
Точку
называют точкой
минимума функции y=f(x),
если для всех x из
ее окрестности справедливо неравенство
Под
окрестностью точки
понимают
интервал Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.
Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна. Тогда
Другими словами:
Второй признак экстремума функции.
Пусть
16. Множество точек на плоскости называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком содержится в этом множестве. Примерами выпуклых множеств являются : треугольник, отрезок, полуплоскость, Графики функций, выпуклых вниз и вверх, изображены на рис. 25.
Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция имеет разные направления выпуклости. Нетрудно заметить, что точки перегиба - это точки экстремума первой производной. Асимптоты графика функции Определение 11 (вертикальная асимптота). Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов limx a+0f(x) или limx a-0f(x) равен + или -. Говорят, что прямая y = kx+b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x, если f(x) имеет вид f(x) = kx+b+ (x),
где limx (x) = 0. Общая схема исследования функций и построение их графиков Для построения графика функции нужно провести следующие исследования:
17. Неопределенный интеграл Определение (первообразная). Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на множестве X R, если в каждой точке этого множества F'(x) = f(x). Определение (неопределенный интеграл). Совокупность всех первообразных функций для функции f(x), определенных на множестве X, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на множестве X и обозначается
Если F(x) - некоторая первообразная для f(x), то пишут
Основные свойства неопределенного интеграла
dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx = F(x)+C.
d f(x)dx = d(F(x)+C) = dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.
(f1(x)+f2 (x))dx = f1(x)dx+ f2(x)dx.
Таблица интегралов
18. Методы интергрирования. Метод непосредственного интегрирования..метод интергир подстановкой.метод интегрирования по частям. Метод непосредственного интегрирования. Осуществляется с использованием свойств интеграла и сведением интеграла к табличному. Примеры: 1) ∫(5cos(x)+2−3x2+x1−4x2+1)dx=5∫cos(x)dx+2∫dx−3∫x2dx+∫xdx−4∫dxx2+1= =5sin(x)+2x−x3+ln∣x∣−4arctg(x)+C. 2) ∫tg2(x)dx=∫sin2(x)cos2(x)dx=∫cos2(x)1−cos2(x)dx=∫1cos2(x)dx−∫dx=tg(x)−x+C
Замена переменной интегрирования является одним из эффективных методов сведения интеграла к табличному. Этот прием интегрирования называется методом подстановки. Теорема (метод подстановки). Пусть функция x = (t) определена и дифференцируема на некотором множестве T, а X - множество значений этой функции, на котором определена f(x). Тогда, если функция f(x) имеет первообразную на X, то на T справедлива следующая формула
23.Замена переменной в определенном интеграле Интегрирование по частям
Теорема
4. Пусть
функции
Доказательство
Так
как
откуда . Метод замены переменной
Теорема
Пусть
функция
непрерывна
на отрезке
.
Тогда, если: 1) функция
которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Заметим,
что как и в случае неопределенного
интеграла, использование замены
переменной позволяет упростить
исходный интеграл, приблизив его к
табличному. При этом в отличие от
неопределенного интеграла в данном
случае нет необходимости возвращаться
к исходной переменной интегрирования
– достаточно лишь найти новые пределы
интегрирования
На
практике часто вместо подстановки
используют
подстановку
24. Площадь плоской фигуры
Криволинейной
трапецией называется плоская фигура,
ограниченная графиком некоторой
функции
Площадь
криволинейной трапеции численно равна
определенному интегралу
Длина дуги плоской кривой
Пусть
кривая
Рис. 14
Определение. Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.
Если
функция
и
ее производная
Объем тела вращения Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке функции , осью , прямыми и , вращается вокруг оси (рис. 10). Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле
Рис. 10
25.Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
При
введении понятия определённого
интеграла
а)
пределы интегрирования а и
б)
подынтегральная функция Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным. Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Определение. Пусть
функция
определена
и непрерывна на промежутке
называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (несобственным интегралом I рода).
Если
Несобственные интегралы от неограниченных функций
Пусть
функция
непрерывна
на конечном промежутке
Определение. Несобственным
интегралом
от
функции у=f(x) на промежутке
Если предел, стоящий в правой части равенства (15) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Интеграл (15) иногда называют несобственным интегралом второго рода.
|
(a)
- проколотая -
окрестность точки a, функции f(x),g(x)
определены и дифференцируемы на
,
g'(x) 0,
и 
выполняется
неравенство 
.
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует большее
значение функции.
.
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует меньшее
значение функции.
называют точкой
максимума функции y=f(x),
если для всех x из
ее окрестности справедливо неравенство 
.
Значение функции в точке максимума
называют максимумом
функции и
обозначают 
.
.
Значение функции в точке минимума
называют минимумом
функции и
обозначают 
.
,
где 
-
достаточно малое положительное число.
при 
и 
при 
,
то
-
точка максимума;
,
,
то
-
точка минимума;
,
то
-
точка максимума.
f(x)dx.
-
рациональная дробь. Она
называется правильной,
если степень P(z) меньше
степени Q(z),
и неправильной,
если степень Р не
меньше степени Q.
,
является
правильной дробью.
, 2) 
, 3) 
, 4) 
.
(изучен
ранее).
,
содержащего неизвестные коэффициенты,
умножают на 
Получается
равенство двух многочленов. Из него
получают уравнения на искомые
коэффициенты, используя, что:
при
этом
Если
R{-sin x, cosx) = R(sinx, cosx), то целесообразно
применить подстановку tgx = t. при этом
на
частичные отрезки, ни от выбора
точек 
в
них, то этот предел называется
определенным интегралом от функции 
на
отрезке
и
обозначается 
.
.
называется
интегрируемой на
.
Числа а и b называются соответственно
нижним и верхним пределами
интегрирования,
–
подынтегральной функцией, 
–
подынтегральным выражением, 
–
переменной интегрирования;
отрезок
называется
промежутком интегрирования.
,
слева и справа – прямыми 
и 
(см.
рис. 2) вычисляется по формуле
.
(5
и 
,
снизу – отрезком
оси
Ох.
.
,
то, по определению, полагаем 
.
,
то
.
,
такая, что 
.
–
какая-либо ее первообразная на этом
отрезке, то справедлива следующая
формула:
,
(2)
принято
записывать следующим образом:
,
называется
знаком двойной подстановки.
.
значений
этой первообразной на концах
отрезка
.
и 
имеют
непрерывные производные на отрезке
.
Тогда имеет место следующая формула
интегрирования по частям:
.
(4)
,
то функция 
является
первообразной для функции 
.
Тогда по формуле Ньютона–Лейбница
получаем
,
и
ее производная 
непрерывны
при 
;
2) множеством значений функции 
при
является
отрезок
;
3) 
, 
,
то справедлива формула
,
(3)
и 
(для
этого надо решить относительно
переменной t уравнения 
и 
)).
.
В этом случае нахождение новых пределов
интегрирования по переменной t
упрощается: 
, 
.
,
осью 
и
прямыми 
, 
:
. У
любого определенного интеграла
(который существует) есть очень хороший
геометрический смысл.. С
точки зрения геометрии определенный
интеграл – это ПЛОЩАДЬ.
То
есть, определенному
интегралу (если он существует)
геометрически соответствует площадь
некоторой фигуры.
Например, рассмотрим определенный
интеграл 
.
Подынтегральная функция 
задает
на плоскости некоторую кривую (её
можно всегда при желании начертить),
а сам определенный интеграл
численно
равен площади соответствующей
криволинейной трапеции.
,
заданная уравнением 
,
где 
,
лежит в плоскости 
(рис. 14).
непрерывны
на отрезке 
,
то длина дуги кривой
вычисляется
по формуле
. 
.
(9)
предполагалось,
что выполняются следующие два условия:
являются
конечными;
ограничена
на отрезке
.
,
тогда
(12)
существует
и конечен, то несобственный
интеграл
называется сходящимся;
если данный предел не существует или
равен 
,
то несобственный интеграл
называется расходящимся.
,
но не ограничена на этом промежутке.
называется
предел 
,
т.е.
.
(15)