4. Варианты для самостоятельной работы

1. Оптимизация плана производства.

Задача 1.1

Продукцией городского молочного завода являются молоко, кефир и сметана, расфасованные в бутылки. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1010, 1010 и 9450 кг молока. При этом затраты рабочего времени при розливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-ч. На расфасовке сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 ч. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течении 21,4 машино-ч., а автоматы по расфасовку сметаны – в течение 16,25 ч. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22 и 136 руб. завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока, расфасованного в бутылки. На производство другой продукции нет ни каких ограничений.

Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве следует ежедневно изготовлять заводу, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Составить математическую модель задачи.

Задача 1.2

Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А, В и С использует 3 вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство 1 т карамели данного вида приведены в таблице.

В ней же указано общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано фабрикой, а также приведена прибыль от реализации 1 т карамели данного вида.

Вид сырья	Нормы расхода сырья (т) на производство 1 т карамели			Общее количество сырья (т)
	А	В	С
Сахарный песок	0,8	0,5	0,6	800
Патока	0,4	0,4	0,3	600
Фруктовое пюре	-	0,1	0,1	120
Прибыль	108	112	126

Найти план производства карамели, обеспечивающий максимальную прибыль от ее реализации.

Задача 1.3

Фабрика игрушек «Аврора» собирает три вида игрушек: модели поездов, грузовиков и легковых автомобилей; при сборке каждого вида используется три типа операций. Ежедневный фонд рабочего времени на каждую операцию ограничен предельными величинами 430, 460 и 420 минут. Доход на одну игрушку каждого вида составляет соответственно 3$, 2$ и 5$. На каждой из трех операций для сборки модели поезда требуется 1, 2 и 1 минуты рабочего времени. Соответствующее время для сборки модели грузовиков и легковых автомобилей составляет (2,0,4) и (1,2,0) минут (ноль указывает на то, что соответствующая операция не выполняется).

Определить план выпуска продукции, при котором обеспечивается ее максимальная стоимость.

Задача 1.4 Производить или покупать?

Фирма производит 2 типа химикатов. На следующий месяц он заключила контракт на поставку следующего количества этих химикатов;

Тип химикатов	Продажи по контракту, т
1	100
2	120

Производство фирмы ограничено ресурсом времени работы двух химических реакторов. Каждый тип химикатов должен быть обработан сначала в реакторе 1, а затем в реакторе 2. Ниже в таблице приведен фонд рабочего времени, имеющийся у каждого реактора в следующем месяце, а также время на обработку одной тонны каждого химиката в каждом реакторе:

Реактор	Время на обработку 1 т химикатов, ч		Фонд времени, ч
	Типа 1	Типа 2
1	4	2	300
2	3	6	400

Из-за ограниченных возможностей, связанных с существующим фондом времени на обработку химикатов в реакторах, фирма не имеет достаточных мощностей, чтобы выполнить обязательства по контракту. Выход заключается в следующем: фирма должна купить какое-то количество этих химикатов у других производителей, чтобы использовать эти закупки для выполнения контракта. Ниже приводится таблица затрат на производство химикатов самой фирмой и на закупку их со стороны:

Тип химикатов	Затраты на производство, тыс. руб/т	Затраты на закупку,тыс. руб/т
1	35	45
2	56	66

Цель фирмы состоит в том, чтобы обеспечить выполнение контракта с минимальными издержками. Это позволит ей максимизировать прибыль, так как цены на химикаты уже оговорены контрактом. Другими словам, фирма должна принять решение, сколько химикатов каждого типа производить у себя, а сколько – закупать со стороны для того, чтобы выполнить контракт с минимальными издержками.

Сформулируйте прямую оптимизационную задачу на минимум общих издержек выполнения контракта, составьте оптимальную программу производства и закупа химикатов.

Проанализируйте использование ресурсов в оптимальном плане.

На сколько возрастут минимальные издержки, если фонд времени работы реактора 2 сократиться с 400 до 300 ч?

Задача 1.5

Компания «Уютный дом» специализируется на производстве столов трех моделей А, B и С. Каждая модель требует определенных затрат времени на выполнение трех операций: производство заготовок, сборка и покраска.

Компания имеет возможность продать все столы, которые она изготовит. Более того, модель С может быть продана и без покраски. При этом прибыль уменьшается на 200 руб. за штуку, а также сокращаются затраты времени на выполнение операции по производству заготовок на 3 ч. Предполагается, что по каждому виду работ можно использовать до 100 ч.

Время (в часах), необходимое для выполнения операций по производству столов каждой модели, и прибыль (в руб.), которая может быть получена от реализации каждого изделия, приведены в таблице.

Модель	Производство заготовок	Сборка	Покраска	Прибыль
А	5	2	5	450
B	1	2	5	400
C	7	5	6	500

Сформулируйте прямую оптимизационную задачу на максимум общей прибыли, составьте оптимальную производственную программу.

Проанализируйте использование ресурсов в оптимальном плане.

Насколько увеличится максимальная прибыль, если возрастет на 10% допустимый объем часов используемых на этапе сборки?

На какую минимальную величину должна возрасти прибыль от производства и продажи окрашенного стола модели С, чтобы стало выгодно их производить?

Задача 1.6

После предпринятой рекламной компании фирма «Анта» сильно возрос спрос на два типа мангалов для приготовления шашлыков на открытом воздухе – газовые и угольные. Фирма заключила контракт на ежемесячную поставку в магазины 300 газовых и 300 угольных мангалов.

Производство мангалов ограничивается мощностью следующих трех участков: производства деталей, сборки и упаковки. В таблице показано, сколько человеко-часов затрачивается на каждом участке на каждую единицу продукции, а также приведен допустимый ежемесячный объем трудозатрат:

Участок	Трудозатраты на производство одного мангала, ч		Фонд времени, человекочасы
	угольного	Газового
Производство	5	8	2600
Сборка	0,8	1,2	400
Упаковка	0,5	0,5	200

Фирма «Анта» не может обеспечить выполнение контракта своими силами. Поэтому она провела переговоры с другим производителем, который в настоящее время располагает избыточными мощностями. Этот производитель согласился поставлять фирме «Анта» в любом количестве угольные мангалы по 3 тыс. руб. за штуку и газовые по 5 тыс. руб. за штуку. Эти цены превышают себестоимость мангалов на заводе фирмы «Анта» на 1,5 тыс. руб. за каждый угольный мангал и на 2 тыс. руб. за каждый газовый мангал. Задача фирмы состоит в том, чтобы найти такое соотношение закупаемых и производимых мангалов, которое обеспечило бы выполнение контракта с минимальными общими затратами.

Сформулируйте прямую оптимизационную задачу на минимум общих издержек выполнения контракта, составьте оптимальную программу производства и закупа мангалов.

Проанализируйте использование ресурсов в оптимальном плане.

Следует ли сохранить объемы закупок газовых мангалов, если компания, выполняющая заказы для фирмы «Анта», поднимет цену на них до 5,5 тыс. руб.?