1. Определение рациональных способов раскроя материала.

В задачах оптимального раскроя рассматриваются так называемые рациональные (оптимальные по Парето) способы раскроя. Предположим, что из единицы материала можно изготовить заготовки нескольких видов. Способ раскроя единицы материала называется рациональным (оптимальным по Парето), если увеличение числа заготовок одного вида возможно только за счет сокращения числа заготовок другого вида.

Пример 3: Определить все рациональные способы раскроя металлического стержня длиной 100 см на заготовки трех типов: длиной 20, 30 и 50 см. Укажите величину отходов для каждого способа.

Решение. Для данного материала и указанных заготовок существует семь различных рациональных способов раскроя. Все они приведены в следующей таблице:

Способ раскроя	Количество заготовок длиной			Величина отходов, см
	50 см	30 см	20 см
1	2	0	0	0
2	1	1	1	0
3	1	0	2	10
4	0	3	0	10
5	0	2	2	0
6	0	1	3	10
7	0	0	5	0

2. Определение интенсивности использования рациональных способов раскроя.

Введем обозначения:

Модель раскроя с минимальным расходом материалов:

Модель раскроя с минимальными отходами:

Пример 4. Пусть в примере 3 необходимо определить какое минимальное количество материала следует разрезать, чтобы выполнить следующий заказ: 60 стержней длиной 50 см, 40 стержней длиной 30 см и 80 стержней длиной 20 см.

Решение. Предположим, что - количество единиц материала, раскраиваемых по i способу ( ). Тогда стержни длиной 50 см могут быть получены при применении 1, 2 и 3 способов раскроя. При этом, если использовать 1 способ раскроя, то получим 2 стержня из 1 единицы материала, а при использовании 2-ого и 3-его способов раскроя - по одному стержню длиной 50 см.

Так как нам необходимо изготовить не менее 60 стержней длиной 50 см, то должно выполняться неравенство:

,

Аналогичные рассуждения относительно возможного использования различных способов раскроя для изготовления стержней 30 и 20 см приведут к следующим неравенствам:

,

.

При этом, так как количество используемого материала не может быть отрицательным, то

(1)

Общее количество материала, которое буде использовано для выполнения заказа буде равно . А поскольку критерием оптимизации является минимизация израсходованного материала, то целевая функция буде выглядеть следующим образом:

Таким образом, приходим к следующей математической задаче: дана система

(2)

трех линейных неравенства с семью неизвестными и линейная функция относительно этих же переменных

(3)

Требуется среди всех неотрицательных решений системы неравенств (2) найти такое, при котором функция (3) принимает минимальное значение.

Линейная функция (3), минимум которой требуется определить, вместе с системой неравенств (2) и условием неотрицательности переменных (1) образуют математическую модель исходной задачи.

Так как функция (3) линейна, а система неравенств (2) содержит только линейные неравенства, то задача (1) – (3) является задачей линейного программирования.