Федеральное агенство по образованию

ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Экономический факультет

Кафедра «Математических методов в экономике»

Линейное программирование Решение задач линейного программирования в среде ехсеl

Дисциплина: Математические методы в экономике

.

Челябинск, 2010

Оглавление

2. Основные классы задач линейного программирования 4

2.1 Оптимизация плана производства 4

2.2 Оптимальное смешение 7

2.3 Задача оптимального раскроя 9

3. Решение задачи линейного программирования с помощью Поиска решений 12

4. Варианты для самостоятельной работы 21

Ответы 29

Литература 29

ВВЕДЕНИЕ

Линейное программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач нахождения экстремума (максимума или минимума) линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, то есть линейных равенств или неравенств, связывающих эти переменные. К задачам линейного программирования сводится широкий круг вопросов управления производственными экономическими процессами, где ставится задача выбора наилучшего (оптимального) решения.

Одним из основоположников теории линейного программирования был Л.В. Канторович. В 1939 году вышла его работа «Математические методы организации и планирования производства». Спустя 10 лет американский математик Дж. Данциг разработал эффективный метод решения данного класса задач – симплекс-метод.

1. Постановка задачи

Небольшая фабрика изготавливает два вида красок К₁ и К₂ . Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства красок используется два исходных продукта A и B. Эти продукты ежедневно завозятся на фабрику. Имеющиеся емкости позволяют хранить в течение суток 8 тонн продукта A и 6 тонн продукта B. Для изготовления 1 тонны краски К₁ расходуется 0.3 тонны продукта A и 0.7 тонны продукта B. Для изготовления 1 тонны краски К₂ расходуется 0.6 тонны продукта A и 0.4 тонны продукта B. Изучение спроса за предшествующий период показало, что ежедневный спрос на краску К₁ может превосходить спрос на краску К₂ не более, чем на 1 тонну, а ежедневный спрос на краску К₁ никогда не превосходил 2 тонн. Цена красок К₁ и К₂ на оптовом рынке составляет 2 и 3 условных единицы соответственно.

Требуется определить, какое количество краски каждого вида нужно производить ежедневно с тем, чтобы выручка от продажи была максимальной.

1.1 Построение математической модели.

Для построения математической модели нужно ответить на три вопроса:

1. Какие неизвестные (переменные) величины должны быть определены в задаче?

2. Каким ограничениям должны удовлетворять переменные?

3. В чем состоит цель? Какая функция (целевая функция) переменных задает величину достижения цели?

В нашем примере руководству фабрики требуется определить:

- объем производства краски К₁;

- объем производства краски К₂.

Ограничения в задаче двух видов по спросу

,

;

и по запасу исходных продуктов A и B

,

.

Естественно также ограничение на знак переменных (нельзя производить отрицательное количество продукции)

, .

Так как цель – увеличение выручки, то целевая функция – величина выручки

Все вместе будет иметь следующий вид:

(2.1)

С формальной позиции модель является линейной, так как все входящие в модель функции линейные. Данная задача является типичным примером стандартной задачи линейного программирования (ЛП).