Параметр  неизвестен

Случай 1. Гипотезы Н₀: а = а₀, Н₁: а  а₀.

В качестве критерия примем случайную величину , которая имеет распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы. Критическую область G находим из условия . Если найденное по выборке t_набл  G, то гипотезу H₀ отклоняем как не согласующуюся с выборкой в пользу конкурирующей H₁.

Итак, чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу Н₀: а = а₀ при конкурирующей гипотезе Н₁: а  а₀, надо вычислить по выборке , где s – исправленное среднее квадратическое отклонение, найти по таблице 5 критических точек распределения Стьюдента приложения по заданному уровню значимости , помещенном в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы k = n – 1 критическую точку t_кр = t_{двустор кр} (, k).

Если < t_kp, то гипотезу H₀ принимаем как согласующуюся с выборкой.

Если > t_kp, то H₀ отклоняем в пользу гипотезы H₁.

Случай 2. Гипотезы Н₀: а = а₀, Н₁: а > а₀.

Чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу Н₀: а = а₀ при конкурирующей гипотезе Н₁: а > а₀, когда параметр  неизвестен, нужно вычислить по выборке и найти по таблице 5 критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости  (для односторонней области), помещенному в нижней строке таблицы, и числу степеней свободы k = n – 1 критическую точку правосторонней области отклонения t_kp = t(, k).

Если t_набл> t_kp, то H₀ отклоняем в пользу H₁ .

Если t_набл < t_kp, то H₀ принимаем как согласующуюся с выборкой.

Случай 3. Гипотезы Н₀: а = а₀, Н₁: а < а₀.

Чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу Н₀: а = а₀ при конкурирующей гипотезе Н₁: а < а₀, когда параметр  неизвестен, нужно вычислить по выборке и найти критическую точку левосторонней области отклонения t_kp = – t(, k) по таблице 5 критических точек распределения Стьюдента, где  – уровень значимости, помещенный в нижней строке таблицы (для односторонней области), и k = n – 1-число степеней свободы.

Если t_набл < t_kp, то H₀ отклоняем в пользу H₁ .

Если t_набл > t_kp, то H₀ принимаем как согласующуюся с выборкой.

Пример. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 25, найдены по выборке = 16 и D_B = 19,44. Требуется при уровне значимости  = 0,05 проверить. Н₀: а = 15 , Н₁: а  15

Решение.

По таблице 5 критических точек распределения Стьюдента приложения для двусторонней критической области находим

t_кр = t_{двустор кр} (0,05; 24) = 2,06.

Вычисляем t_набл. Т.к. S² = = 20,25; то S = 4,5. Следовательно, = .

Т. к. < t_kp , то H₀ принимаем как согласующуюся с выборкой.

Задачи для самостоятельного решения:

Задание 1. По данным корреляционной таблицы составить уравнения линейной регрессии Y по Х и Х по Y.

Вариант 1

Y Х	100	110	120	130	140	nx
2	4					4
9	3	6				9
12		2	3			5
18	1		48	10	4	63
21		5	2	8		15
32				4		4
ny	8	13	53	22	4	n = 100

Вариант 2

Y Х	105	109	121	135	145	nx
3	4		5			9
7		4		3		7
15		2			5	7
16	1	54		10		65
19		1	2			3
31	5			4		9
ny	10	61	7	17	5	n = 100

Вариант 3

Y Х	99	105	123	125	130	nx
2	4		1			5
5	3	2		2		7
12		2	3		2	7
15	1	1	48	5	2	57
23		5	2	8		15
35	2			4	3	9
ny	10	10	54	19	7	n = 100

Вариант 4

Y Х	101	105	115	130	142	nx
3	4		2		1	7
8	3	2	1	1		7
13		2	3			5
19	1			10	4	15
25	40	5	2	5		52
33			4		10	14
ny	48	9	12	16	15	n = 100

Вариант 5

Y Х	103	111	126	128	146	nx
5	4		1		6	11
13	2			5	1	8
14		2	1		2	5
23	1		30	8	3	42
27	8	5	2			15
34	15			4		19
ny	30	7	34	17	12	n = 100

Задание 2.

Вариант 1. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 20, найдено =1,5; причем известно, что  = 6. Требуется при уровне значимости  = 0,05 проверить основную гипотезу H₀: а = 5 при конкурирующей H₁: а  5.

Вариант 2. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 28, найдено =2,5; причем известно, что  = 8. Требуется при уровне значимости  = 0,05 проверить основную гипотезу H₀: а = 3 при конкурирующей H₁: а  3.

Вариант 3. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 15, найдено =2,1; причем известно, что  = 5. Требуется при уровне значимости  = 0,05 проверить основную гипотезу H₀: а = 1 при конкурирующей H₁: а  1.

Вариант 4. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 19, найдено =1,8; причем известно, что  = 9. Требуется при уровне значимости  = 0,05 проверить основную гипотезу H₀: а = 4 при конкурирующей H₁: а  4.

Вариант 5. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 21, найдено =1,9; причем известно, что  = 7. Требуется при уровне значимости  = 0,05 проверить основную гипотезу H₀: а = 2 при конкурирующей H₁: а  2.