23. Колебательные процессы

Гармонические колебания – колеб, описываемые равенством следующего вида:f(t)=f(t+T)

t-текущее время

Т- период колебаний

Амплитуда характеризуется цикличностью.<=>

А- максимальное смещение , котор достиг колебательная система.

Гармонические колебания и их характеристики

Гармонические колебания-колеб, кот удовл. уравнению x=Acos(ωt+φ₀) x - смещение; А-амплитуда; (ωt+φ₀)-фаза колебаний, φ₀-начальная фаза колебаний; ω-круговая частота =2piυ . Данное уравнение описывает колебание cos или sin.

Длина маятника намного больше, чем его амплитуда. Р-м колеб 2-х видов: - на пружине; - в LC контуре. Электр. цепь содержит индуктивность и емкость, в котор создается электрич колеб.

Механические колебания: 1) t=0, V=0, F=-kx ; W=Wn=kx²/2

2) t=T/4 ; V=не=0; F=0; W=W_k=mV²/2

3) t=T/2 ; V=0; W=W_n=kx²/2

Колебания в LC контуре: 1) t=0; I=0; W=W_э.п.=q²/2C

2) t=T/4; Wэ.п.=0; I≠0; I=I_м.п.; W=W_м.п=LI²/2

3) t=T/2 ;I=0; W=Wэ.п=q²/2C

При дальн-ем протекании времени все повт-ся снова, но в противоположном напр-ии => Ур колеб будет иметь похожий вид, но будут отлич параметрами.

1) x(t)=A_xcos(ωt+φ₀); V(t)=- ωA_xsin(ωt+φ₀); a(t)= -ω²A_x (ωt+φ₀)

2) LC q(t)= A_qcos(ωt+φ₀); I(t)= - ωA_qsin(ωt+φ₀); q”(t)= -ω²A_q (ωt+φ₀)

Дифференциальные уравнения гармонических колебаний

Механические колебания

р-м механич колебания при отсутствии сопр-ия среды

а) упругий маятник

F=-kx; F= mx”

mx”=-kx; mx”+ kx=0/:m x”+kx/m=0

k/m=ω²_c; x”+ ω²_cx=0

x=x_Acos(ωt+φ₀)

x|_t=0=0; x’|_t=0=0

ω_c=√k/m => T=2pi/ω_c=2pi√m/k

Введем понятие об операторе собственных функций и собственных значений.

D=d²/dx²; D=d²/dt²

D_x+ω²_cx=0; D_x=-ω²_cx; D_x=Ax

б) физический и математический маятник

Физический маятник-физическое тело, соверш колеб под действием силы тяжести, вокруг оси не проход через центр масс.

Математический маятник- мат точка, подвешанная к неподвижной точке на нерастяжимой нити, соверш колеб в вертикальной плоскости.

Маятник - твердое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или неподвижной оси. Р-м физический маятник, закрепленный т.о.:i-момент инерции тела при вращении его вокруг оси, проход через т.О.

О-центр вращения, О’-центр масс. M=lmg; M=-lmgsinθ

‘-‘ – показывает, что момент силы направлен противоположно нарастанию угла θ.

M=iε=id²θ/dt²= iθ”; iθ”=-lmgsinθ; θ”=-mgl sinθ/i

Если в данном случае мы будем рассматривать малые колебания, т.е. sinθ=θ, то: θ"=-mglθ/i;

θ”+ mglθ/i=0 θ”+ θω²_c=0 θ= θ_Acos(ω_ct+φ₀)

ω_c=√mgl/i; T=2pi/ω_c=2pi√i/mgl i=ml²;

T=2pi√ml²/mgl=2pi√l/g

Если ввести обозначение привед. длины (L)

L=i/ml; T=2pi√i/mgl=2pi√L/g

25. Вывод и анализ дифура затухающих механических колебаний груза на пружине с учётом сопротивления среды.

Рассмотрим мех. колеб. с грузом на пружине с учетом сопри-ия среды: mx ^..= - kx –Rx ^.; R~ Rx ^. – хар-ет силу сопр-ия среды. x ^..+R/m* x ^.+k/mx=0; R/m=2β; k/m= ω_c². x ^..+ 2βx ^.+ ω_c² x=0- диф-ое ур-ие кот. описывает механ-ие затух-ие колебания. β- коэффициент затухания, ω_c- циклич. част. свободных незатух. колеб. Когда β=0, ω- явл-ся собств. част. колебат. системы. Если ω_c> β: x=A_oē ^–βt*cos(ωt+ φ_o); ω=√( ω_c²- β²; а). β=R/2m – опред-ет скорость затухания затухающих колебаний.

τ- время, за кот. амплитуда ум. в e раз. e^–βt= e^–1; б). если учесть, что част. колеб. зависит от частоты собственных колебаний, то период затух-их колебаний: T=2π/ω_c; Т.е чем больше вязкость среды, тем меньше период колебаний. Найдем отношение амплитуд для момента времени отлич-ся на период Т: A(t)/A(t+T)= A_oe^–βt/ A_oe^–β(t+T) = e^βt; если λ=βT и наз. логарифм дискремета затухан.: A(t)= A_oe^–βt=A_oe^{– λ/T*t}; в). если за время релаксации колебат. система успевает сов. какое-то n колебаний, то e^–1=e^–βτ= e^{– λ/T*t}= e^{– λ/N}; N=τ/T, λN=1, λ=1/N. Т.о. логарифмич. декремент обратен по величине числу колебаний, сов. за время в теч. которого ампл. ум. в e раз. г). для хар-ки колебат. конт. или колебат. сист. исп-ют понятие добротность: Q=π/λ=πN=π/βt= ω_c²/2β; Чем больше затух. колебания в сист. тем выше добротность. д). если собств. част. колеб. ω_c=β; ω=√( ω_c²- β²=0; T=2π/ω→∞; 3). Электромагн. колеб. в LC контуре с активным сопр-ем: По закону Ома: I= (φ₀₁- φ₀₂+ε)/R; φ=q/С; ε= - L*dI/dt; φ₀₁- φ₀₂= -q/C; IR= - q/C – LdI/dt; Lq ^..+R q ^.+1/C*q=0; q ^..+R/L*q ^.+1/CL*q=0; Т.е. R/l=2β; q ^..+2βq ^.+ω_c²q=0 – ур-ие затух-их электромагн. колебаний. Когда ω_c>β, ω_c² >β²; q=q ₀- e^–βτcos(ωt+ φ_o); ω=√( ω_c²- β²=√1/LC- R²/4L²; Напряжение на конд: U(t)=q(t)/C=q₀/C* e^–βτcos(ωt+ φ_o)= U₀ e^–βτcos(ωt+ φ_o); Сила тока в данном случае: I=q^.= ωq₀ e^–βτcos(ωt+ φ_o+ψ). При сопротивл =0 разность фаз ψ=π/2, что следует из рассмотр. свободн. колебан. , видно, что при налич. в LC конт. сопр. отлично от 0, т.е. если R≠0, то сила тока опред-ет по фазе напр-ие более чем на π/2. 4). Опр-им логар. декремент затух. LC контура: λ=A(t)/A(t+T)=βT→ λ=R/2L*2π/ω= πR/L ω. Если затухан. мало, т.е. ω_c² >>β, то ω_c≈ω, ω=√1/LC; λ= πR/L*√LC= πR*√C/L; 5). Добротность LCконт. в случае слабозатух. сигнала: Q=π/ λ= π/πR*√L/C=1/R*√L/C; Если собств. частота колеб. меньше коэф. сопр-ия среды, то вместо колеб. происх. переодич. разряд конденсат. Имеет место при ув. R начиная с какого-то критич-ого сопр-ия: ω_c <β; ω_c²=β; R_к²/4L²=1/LC→ R_к=2*√L/C.