12.5. Высшие гармоники в трёхфазных системах

В симметричных трёхфазных системах кривые напряжения во второй и третьей фазах с точностью повторяют форму кривой напряжения в первой фазе, однако эти кривые сдвинуты на треть периода. В общем виде для трёхфазных несину­соидальных, но периодических напряжений можем записать:

;	(12.17)
;	(12.18)
.	(12.19)

где Т – период основной гармоники, с.

Рассмотрим k-ю гармонику во всех трёх фазах:

;	(12.20)
;	(12.21)
.	(12.22)

Учитывая, что

ω = 2πf;

;

ω = 2π ;

ωT = 2π,

За аналогією з активною потужністю несинусоїдного струму вводимо поняття реактивної потужності:

,

тобто

.

(12.16)

Для несинусоїдних струмів квадрат повної потужності не дорівнює сумі квадратів активної і реактивної потужностей.

Величина називається потужністю скривлення.

12.5. Вищі гармоніки в трифазних системах

У симетричних трифазних системах криві напруги в другій і третій фазах з точністю повторюють форму кривої напруги в першій фазі, однак ці криві зсунуті на третину періоду. У загальному вигляді для трифазних несинусоїдних, але періодичних напруг можемо записати:

;	(12.17)
;	(12.18)
.	(12.19)

де Т – період основної гармоніки, с.

Розглянемо k-у гармоніку у всіх трьох фазах:

;	(12.20)
;	(12.21)
.	(12.22)

З огляду на те, що

ω = 2πf;

;

ω = 2π ;

ωT = 2π,

имеем

;	(12.23)
;	(12.24)
.	(12.25)

Рассмотрим гармоники следующих кратностей:

k = 3n;

k = 3n + 1;

k = 3n – 1,

где n – целое число.

При k = 3 n = 3, 6, 9, 12, 15... гармоники кратны трём. Запишем мгновенные значения, например, третьей гармоники:

;	(12.26)
;	(12.27)
;	(12.28)

Таким образом, во всех трёх фазах гармоники, кратные трём, совпадают по фазе и создают систему нулевой последовательности.

Рассмотрим гармоники, кратные 3n + 1 = 1, 4, 7.... Запишем мгновенные зна­чения, например, для первой гармоники, во всех трёх фазах:

;	(12.29)
;	(12.30)
.	(12.31)

Таким образом, гармоники, кратные 3n + 1, создают систему прямой после­до­вательности.

маємо

;	(12.23)
;	(12.24)
.	(12.25)

Розглянемо гармоніки наступних кратностей:

k = 3n;

k = 3n + 1;

k = 3n – 1,

де n – ціле число.

При k = 3 n = 3, 6, 9, 12, 15... гармоніки кратні трьом. Запишемо миттєві значення, наприклад, третьої гармоніки:

;	(12.26)
;	(12.27)
;	(12.28)

Таким чином, у всіх трьох фазах гармоніки, кратні трьом, збігаються за фазою і створюють систему нульової послідовності.

Розглянемо гармоніки, кратні 3n + 1 = 1, 4, 7.... Запишемо миттєві значення, наприклад, для першої гармоніки, у всіх трьох фазах:

;	(12.29)
;	(12.30)
.	(12.31)

Таким чином, гармоніки, кратні 3n + 1, створюють систему прямої послідовності.

Рассмотрим гармоники, кратные 3n – 1 = 2, 5, 8.... За­пишем мгновенные зна­чения, например, для второй гармоники, во всех трёх фазах:

;	(12.32)
;	(12.33)
.	(12.34)

Таким образом, гармоники, кратные 3п – 1, создают систему обратной после­довательности.

В технике сильных токов несинусоидальные кривые, как правило, симмет­ричны относительно оси абсцисс, поэтому в дальнейшем чётные гармоники будем опускать.

Рассмотрим четырёхпроводную трёхфазную систему при соединении звез­дой. В этом случае линейные напряжения, которые находятся как разность фаз­ных напряжений, не будут иметь гармоник, кратных трём, т.к. последние создают системы нулевой последовательности. Поэтому можем записать:

;	(12.35)
,	(12.36)

откуда

.

(12.37)

При симметричной нагрузке в фазных токах основная гармоника и все выс­шие гармоники, за исключением кратных трём, создают системы прямой и обрат­ной последовательностей и в сумме равны нулю. Гармоники, кратные трём, соз­дают системы нулевой последовательности, поэтому ток в нейтральном проводе равен утроенному значению суммы токов высших гармоник, кратных трём:

.

(12.38)

Фазный и линейный токи равны между собой:

.

(12.39)

Розглянемо гармоніки, кратні 3n – 1 = 2, 5, 8.... Запишемо миттєві значення, наприклад, для другої гармоніки, у всіх трьох фазах:

;	(12.32)
;	(12.33)
.	(12.34)

Таким чином, гармоніки, кратні 3п – 1, створюють систему зворотної послідовності.

У техніці сильних струмів несинусоїдні криві, як правило, симетричні відносно осі абсцис, тому надалі парні гармоніки будемо опускати.

Розглянемо чотирипровідну трифазну систему при з'єднанні зіркою. У цьому випадку лінійні напруги, які визначаються як різниця фазних напруг, не будуть мати гармонік, кратних трьом, тому що останні створюють системи нульової послідовності. Тому можемо записати:

;	(12.35)
,	(12.36)

звідки

.

(12.37)

При симетричному навантаженні у фазних струмах основна гармоніка та усі вищі гармоніки, за винятком кратних трьом, створюють системи прямої і зворотної послідовностей і в сумі дорівнюють нулю. Гармоніки, кратні трьом, створюють системи нульової послідовності, тому струм у нейтральному проводі дорівнює потроєному значенню суми струмів вищих гармонік, кратних трьом:

.

(12.38)

Фазний і лінійний струми рівні між собою:

.

(12.39)

Если нейтральный провод отсутствует, то фазные токи не могут иметь гар­моник, кратных трём, и таким образом

.

(12.40)

Поскольку в фазных напряжениях нагрузки отсутствуют гармоники, кратные трём, то они появятся в напряжении смещения нейтрали:

.

(12.41)

Если генератор тока соединить треугольником, то результирующая э.д.с. в контуре не будет равна нулю:

.

(12.42)

Суммарная э.д.с. создаст ток, который будет протекать даже тогда, когда ге­нератор работает на холостом ходу. В этом случае фазное (линейное) напряжение генератора не будет иметь гармоник, кратных трём, поскольку они будут компен­сироваться на внутреннем сопротивлении фаз генератора. Поэтому

.

(12.43)

Фазный ток

.

(12.44)

Линейный ток

,

(12.45)

т.е.

.

(12.46)

Якщо нейтральний провід відсутній, то фазні струми не можуть мати гармонік, кратних трьом, і таким чином

.

(12.40)

Оскільки у фазних напругах навантаження відсутні гармоніки, кратні трьом, то вони з'являться в напрузі зміщення нейтралі:

.

(12.41)

Якщо генератор струму з'єднати трикутником, то результуюча е.р.с. у контурі не буде дорівнювати нулю:

.

(12.42)

Сумарна е.р.с. створить струм, який буде протікати навіть тоді, коли генератор працює на холостому ходу. У цьому випадку фазна (лінійна) напруга генератора не буде мати гармонік, кратних трьом, оскільки вони будуть компенсуватися на внутрішньому опорі фаз генератора. Тому

.

(12.43)

Фазний струм

.

(12.44)

Лінійний струм

,

(12.45)

тобто

.

(12.46)