§ 13.3. Исследование абсолютной устойчивости при неустойчивой
линейной части
Все известные критерии абсолютной устойчивости разработаны и сформулированы для случая, когда линейная часть системы асимптотически устойчива. Поэтому при неустойчивой линейной части для обеспечения возможности применения этих критериев необходимо сначала преобразовать систему так, чтобы линейная часть преобразованной системы оказалась устойчивой. Для этой цели обычно применяют дополнительную обратную связь.
Рассмотрим, например, систему, схема которой приведена на рис. 13.9,а [19], где передаточная функция
,
(13.6)
а нелинейность относится к классу [0,2;
6], т.е.
.
Найти условия, при которых данная система
абсолютно устойчива.
Линейная часть в данном случае неустойчива,
поэтому введём дополнительные обратные
связи с коэффициентом передачи
,
как показано на рис. 13.9,а. Поскольку
введённые связи компенсируют друг
друга, то полученная схема эквивалентна
исходной. Затем перенесём вход
положительной обратной связи с выхода
системы на выход сравнивающего элемента,
как показано на рис. 13.9,б. Из-за
переноса через сравнивающий элемент
эта связь станет отрицательной, но
результирующая система будет, по-прежнему,
эквивалентна исходной. Передаточная
функция с учетом (13.6) и
нелинейность эквивалентной системы
(рис. 13.9,в) определяются по формулам:
,
.
Очевидно, в рассматриваемом случае
,
.
(13.7)
Так как в соответствии с критериями
абсолютной устойчивости система с
(13.7) должна быть устойчивой, то
рассматриваемая система (рис. 13.9,а)
может быть абсолютно устойчивой, если
только
и
.
Имея в виду применение критерия Попова,
примем
.
Тогда
,
а из условия
следует неравенство
или
.
В рассматриваемом случае порядок
линейной части равен двум, поэтому при
и
годограф Попова будет располагаться в
четвертом и третьем квадранте, как
показано на рис. 13.7. Здесь
–
некоторое число. При этом прямую Попова
через точку (–1/5,8; j0)
можно всегда провести так, что критерий
Попова будет выполняться.
Итак, рассматриваемая система будет
абсолютно устойчива при
и
,
несмотря на то, что её линейная часть
является неустойчивой.
§ 13.4. Круговой критерий Воронова
Критерий Воронова позволяет исследовать абсолютную устойчивость системы (рис. 13.3), когда выполняются следующие условия:
а) нелинейность
,
где
,
;
б) линейная система, полученная из
нелинейной при замене
на
,
асимптотически устойчива при всех
.
Определение. Если выполняются условия а), б) и неравенство
,
(13.8)
то нелинейная система (рис. 13.3) абсолютно устойчива. ■
В выражении (13.8)
,
.
Графически неравенство (13.8) критерия
Воронова заключается в том, что при
выполнении указанных выше условий а)
и б) для абсолютной устойчивости
нелинейной системы достаточно, чтобы
годограф Найквиста
линейной части системы (рис. 13.3) «не
заходил» в запретную
область, как показано на рис. 13.10
и рис. 13.11–13.13.
На рис. 13.10 и рис. 13.12 эта область является кругом и показана штриховкой. Отсюда название – «круговой критерий». На рис. 13.11 – 13.13 заштрихованы «запретные области» как для нелинейности (а, в), так и для годографа Найквиста линейной части системы (б, г) соответственно.
Круговой критерий
Воронова проще в применении, но даёт
более жесткие («более достаточные»)
условия абсолютной устойчивости. Поэтому
его целесообразно применять в тех
случаях, когда
или (и), когда
,
т.е. тогда, когда невозможно применить
критерий Попова.
Отметим в заключение, что исследование абсолютной устойчивости нелинейных систем вида (12.1) – (12.3) в пионерских работах А.И. Лурье, В.Н. Постникова, М.А. Айзермана, В.А. Плисса и других ученых проводилось с использованием функций Ляпунова в форме (12.28). Продолжаются эти исследования и в настоящее время с целью получения более мягких и более конструктивных условий абсолютной устойчивости.
Г л а в а 14
СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ