§ 12.5. Построение функций Ляпунова

Основной сложностью практического применения второго метода Ляпунова является отсутствие в настоящее время общего метода построения функций Ляпунова для нелинейных систем. В общем случае функция Ляпунова определяется решением нелинейного дифференциального уравнения в частных производных. Известные методы позволяют найти решение этого уравнения лишь в отдельных частных случаях, так как поиск значительно осложняется требованием знакоопределённости самой функции Ляпунова и её производной по времени на траекториях исследуемой системы.

В настоящее время известно много различных приёмов или методов, которые позволяют решить задачу построения функций Ляпунова, но лишь в некоторых частных случаях.

Например, часто нелинейная система (12.22) включает линейную часть и одну нелинейность, т.е. , где , причем

и . (12.27)

В этом случае в качестве кандидата в функции Ляпунова, по предложению А.И. Лурье, можно брать «квадратичную форму от переменных состояния плюс интеграл от нелинейности»» с некоторым варьируемым коэффициентом, т.е.

. (12.28)

Покажем на простом примере порядок построения функции Ляпунова с применением выражения (12.28).

Пример 12.6. Рассмотрим нелинейную систему

.

Функция расположена в первом и третьем квадрантах, как показано на рис. 12.8. Исследовать устойчивость положения равновесия данной системы.

Решение. В данном случае нелинейность удовлетворяет условиям (12.27), поэтому в соответствии с выражением (12.28) в качестве функции Ляпунова возьмем функцию . Эта функция является положительно-определённой, а её производная по времени вдоль траекторий заданной системы

.

Следовательно, в силу первой теоремы Ляпунова, данная система имеет асимптотически устойчивое в целом положение равновесия. ■

Отметим, что функции Ляпунова вида (12.28) часто используются при исследовании абсолютной устойчивости нелинейных динамических систем, в частности, в тех случаях, когда нелинейности, аналогичны приведённой на рис. 12.8 (см. гл. 13).

Для построения функций Ляпунова при исследовании динамических систем второго порядка часто применяется метод деления переменных, предложенный Е.А. Барбашиным. Применим он для динамических систем, описываемых уравнением

, (12.53)

где , а .

Введением обозначений , , уравнение (12.53) приводится к эквивалентному виду

, . (12.54)

Как видно, переменные системы как бы разделены между нелинейными функциями: каждая из них зависит лишь от одной переменной состояния исследуемой системы. Именно поэтому при построении функции Ляпунова методом деления переменных функция Ляпунова также ищется в виде суммы двух функций

, (12.55)

каждая из которых зависит лишь от одного переменного или . Производная по времени функции (12.55) вдоль траекторий системы (12.54) определяется выражением

.

Барбашин предложил выбирать функции и так, чтобы

. (12.56)

Тогда

. (12.57)

Раскрывая соотношение (12.56) в виде пропорции и приравнивая последнюю к единице, получим

.

Отсюда следуют равенства

, .

Подставляя найденные выражения для и в 12.55) и (12.57), получим

, . (12.58)

Из условий

, ,

можно найти условия на функции , , такие, при которых выполняются условия теоремы Барбашина-Красовского, а положение равновесия х = 0 системы будет устойчиво.

Пример 12.10. Исследовать устойчивость положений равновесия судна, уравнение бортовой качки которого на «тихой» воде имеет вид

, (12.59)

где – момент инерции судна, – коэффициент вязкого трения, – восстанавливающий момент. Возможные зависимости его от угла крена θ приведены на рис. 12.9 и 12.10. На этих рисунках угол соответствует положению судна «килем вверх».

Решение. Сравнивая уравнение бортовой качки судна (12.58) с уравнением (12.53), заключаем, что имеют место соответствия

, , , , .

Следовательно, для построения функции Ляпунова можно воспользоваться методом Барбашина. Подставляя соответствующие функции в равенства (12.58), найдем искомую функцию Ляпунова и её производную по времени вдоль траекторий данной системы:

, . (12.60)

Здесь возможны два варианта. Если зависимость восстанавливающего момента от угла крена имеет вид, показанный на рис. 12.9, то функции (12.60) удовлетворяют условиям теоремы Барбашина-Красовского в окрестности основного положения равновесия θ = 0. Следовательно, это положение равновесия в данном случае является асимптотически устойчивым в некоторой области , т.е. устойчивым в большом.

Если же зависимость восстанавливающего момента М_в от угла θ имеет вид, показанный на рис. 12.10, то в окрестности основного положения равновесия θ = 0 уравнение (12.59) будет иметь ещё два положения равновесия θ₀ и – θ₀.

При этом в соответствии с той же теоремой и приведёнными выражениями (12.60) положения равновесия θ₀ и – θ₀ будут устойчивыми, а основное положение равновесия θ = 0 будет неустойчивым. Другими словами, если зависимость восстанавливающего момента М_в от угла θ имеет вид, показанный на рис. 12.10, то судно будет двигаться с креном θ₀ либо на левый, либо на правый борт. ■

Таким образом, если различные нелинейности системы второго порядка, описываемой уравнениями типа (12.53) или (12.54) зависят от различных переменных, то для построения функции Ляпунова можно использовать метод Е.А. Барбашина.

Известен ряд других методов построения функций Ляпунова для нелинейных систем второго и более высокого порядка. Это метод градиента, энергетический, метод Уокера и Кларка и другие.

Г л а в а 13

АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ