§ 12.3. Метод функций Ляпунова

Этот метод не имеет ограничений по виду правых частей системы (12.1) или (12.4), кроме условий существования и единственности решения. Он может быть применён для исследования устойчивости движений любых систем дифференциальных уравнений, но, к сожалению, вплоть до настоящего времени не разработан общий метод построения функций Ляпунова, необходимых для решения вопросов устойчивости движений нелинейных систем.

При исследовании устойчивости движений нелинейных систем типа (12.1) методом функций Ляпунова также рассматривается система дифференциальных уравнений в отклонениях (12.4). Задача состоит в определении условий на вектор-функцию , при которых

положение равновесия этой системы асимптотически устойчиво.

Как отмечалось выше, положение равновесия системы (12.4) устойчиво асимптотически, если её вектор состояния удовлетворяет условиям (12.11). Следовательно, если положение равновесия системы устойчиво асимптотически, то расстояние изображающей точки от положения равновесия с течением времени убывает, возможно, немонотонно, как показано на рис. 12.4. Если же положение равновесия системы не является асимптотически устойчивым, то это расстояние в среднем не уменьшается при .

Идея второго метода Ляпунова заключается в построении некоторой функции , зависящей от вектора состояния исследуемой системы, положительной и монотонно убывающей с уменьшением . Если эта функция при будет «в среднем» стремиться к нулю, подобно расстоянию изображающей точки от положения равновесия, то, очевидно, соответствующее положение равновесия будет асимптотически устойчивым.

Другими словами, устойчивость или неустойчивость положения равновесия системы можно установить, путём исследования характера изменения соответствующей функции с течением времени. Такие функции получили название функций Ляпунова. Функции Ляпунова обычно всегда больше нуля и имеют отрицательную производную по времени (в случае устойчивости положения равновесия), определённую на траекториях исследуемой системы.

В связи с этим рассмотрим понятия знакоопределённых (знакопостоянных) функций, т.е. положительно (отрицательно) определённых и положительно (отрицательно) полуопределённых функций, а также понятие производной по времени вдоль траекторий динамической системы.

С этой целью возьмём функцию . Пусть эта функция дифференцируема, т.е. её частные производные существуют при всех и при всех .

Определение. Функция называется положительно-определённой, если при любом

, а . ■

Положительно-определенная функция обозначается . Положительно-определенными функциями при являются, например, функции

; .

Определение. Функция называется положительно полуопределённой, если

, а . ■

Положительно полуопределённая функция обозначается . Положительно полуопределёнными функциями при являются, например, функции:

, .

Отрицательно-определённая функция определяется так:

, где .

Отрицательно-определённая функция обозначается , а отрицательно полуопределённая .

Определение. Функция называется бесконечно большой, если для любого числа найдется такое, что вне сферы имеет место неравенство . ■

Квадратичные формы. Часто в качестве знакоопределенных функций используются квадратичные формы, т.е. функции вида

(12.13)

или

.

Матрицы Р квадратичных форм обычно являются симметрическими матрицами, т.е. такими, у которых

. (12.14)

Условия положительной определённости квадратичной формы с симметрической матрицей состоят в следующем.

Критерий Сильвестра. Для положительной определённости квадратичной формы (12.12), (12.14) с симметрической матрицей Р необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры этой матрицы были строго больше нуля. ■

Положительно-определенные матрицы Р, удовлетворяют критерию Сильвестра и обозначаются . Пусть Р – матрица симметрическая, т. е.

.

Для оценки её знакоопределённости найдём следующие определители :

, … .

Тогда в соответствии с критерием Сильвестра матрица , если

. (12.15)

Определение производной по времени вдоль траекторий системы. Эта производная играет большую роль при исследовании устойчивости движений динамических систем методом функций Ляпунова. Рассмотрим некоторую функцию , определенную на переменных состояниях системы (12.4) и найдем её производную по времени вдоль траекторий этой системы. По общему правилу дифференцирования сложной функции находим

. (12.16)

Однако в силу уравнения (12.4) . Поэтому производная по времени функции V(x) вдоль траекторий системы, описываемой уравнением (12.4), определяется выражением

. (12.17)

Отметим, что иногда функцию (12.17) называют так: производная по времени в силу системы (12.4).

Пример 12.2. Пусть , а уравнения системы имеют вид: . Найти производную по времени функции V(x) вдоль траекторий этой системы.

Решение. По формуле (12.16) , а с учётом заданных уравнений для и находим:

. ■

Как видно, в данном примере производная является отрицательно-определённой. Это указывает на то, что функция монотонно затухает, уменьшаясь по величине при . Так как может уменьшаться лишь при уменьшении , то норма решения рассматриваемой системы, очевидно, также стремится к нулю при . Причем это имеет место при любых начальных условиях. Следовательно, положение равновесия рассматриваемой системы является асимптотически устойчивым в целом.

Заметим, что этот вывод сделан без решения дифференциальных уравнений заданной нелинейной системы и каких-либо других математических операций над ними.

Основу метода функций Ляпунова (второго метода Ляпунова) для исследования устойчивости движений динамических систем составляют следующие теоремы.

Теорема 12.4 (об асимптотической устойчивости). Если при всех существует положительно-определённая функция такая, что её производная по времени вдоль траекторий системы (12.4) является отрицательно-определённой функцией, то положение равновесия этой системы асимптотически устойчиво в целом. ■

Теорема 12.5 (о неустойчивости). Если при всех , существует положительно-определённая функция такая, что её производная по времени вдоль траекторий системы (12.4) также является положительно-определённой функцией, то положение равновесия такой системы неустойчиво. ■

Теорема 12.6 (Барбашина-Красовского). Если при всех существует бесконечно большая положительно-определённая функция такая, что её производная по времени вдоль траекторий системы (12.4) является отрицательно полуопределённой функцией, но обращается в нуль на множестве, не содержащем целых траекторий (кроме положения равновесия ) системы (12.4), то положение равновесия этой системы асимптотически устойчиво в целом. ■

Одной из особенностей метода функций Ляпунова является сложность построения функций Ляпунова для конкретных нелинейных систем общего вида. В этом плане теорема Барбашина-Красовского значительно расширяет область применения метода функций Ляпунова. Дело в том, что построить положительно-определённую функцию Ляпунова, которая имела бы знако-определённую производную по времени вдоль траекторий ряда нелинейных систем, как того требуют теоремы Ляпунова, довольно сложно. В то же время для этих систем часто удаётся построить положительно-определённую функцию Ляпунова, которая имеет отрицательно полуопределённую производную по времени вдоль траекторий этих систем и удовлетворяет теореме Барбашина-Красовского.

Отметим, что требование этой теоремы об отсутствии на множестве целых траекторий можно проверить следующим образом. Допустим, является уравнением поверхности , тогда достаточным условием отсутствия на множестве целых траекторий является выполнение следующего неравенства:

. (12.18)

Примеры исследования устойчивости положений равновесия нелинейных систем с помощью теорем Ляпунова и Барбашина-Красовского приводятся ниже.

Положительно-определённая функция , удовлетворяющая какой-либо теореме об устойчивости или неустойчивости по отношению к некоторой системе типа (12.1) или (12.4), называется функцией Ляпунова этой системы.

Отметим также, что если функция Ляпунова удовлетворяет условиям некоторой теоремы об устойчивости не во всем пространстве, а лишь в некоторой области, включающей положение равновесия, то эта область является областью притяжения соответствующего положения равновесия рассматриваемой системы.