§ 12.1. Понятие возмущенного и невозмущенного движения
Любая динамическая система способна совершать множество движений, вызываемых теми или иными причинами. Среди этого множества существуют движения, которые система должна совершать в соответствии со своим назначением. Это движение А. М. Ляпунов предложил называть невозмущенным движением. Для обеспечения работоспособности систем управления и других динамических систем необходимо, чтобы это движение было устойчивым. В настоящее время это движение системы чаще называют эталонным, желаемым или номинальным движением. Все другие движения системы, отличающиеся от невозмущенного, называются возмущенными движениями.
В общем случае движения нелинейной системы описываются некоторой системой дифференциальных уравнений
,
(12.1)
где
– вектор-функция внешних воздействий,
– n-вектор
состояния системы, а
–
нелинейная вектор-функция такая, что
выполняются условия существования и
единственности решения системы
дифференциальных уравнений (12.1).
Решением системы (12.1) является n-вектор
,
где
– n-вектор начальных
условий. На рис. 12.1 показаны графики
возможных движений динамической системы
(12.1) для наглядности – первого порядка.
На этом рисунке кривые
соответствуют невозмущенному движению,
а кривые
и
описывают возмущенные движения при
различных начальных условиях
и
.
Причем на рис. 12.1,а показаны графики
движений системы при устойчивом
невозмущенном движении
,
а на рис. 12.1, б – графики движений
системы с неустойчивым невозмущенным
движением
.
Здесь и в дальнейшем
и
– векторы входных воздействий и начальных
условий, при которых возникает
невозмущенное движение системы.
В дальнейшем невозмущенное движение будет обозначаться
.
(12.2)
При этом функция (12.2) является решением системы дифференциальных уравнений (12.1).
К невозмущенному движению обычно относят либо движение динамической системы при номинальных значениях параметров и воздействий, либо некоторое желаемое движение системы, либо её экстремальное, в некотором смысле, движение.
Аналогично, функция
(12.3)
описывает всевозможные возмущенные
движения динамической системы и также
является решением системы нелинейных
дифференциальных уравнений (12.1). По
предложению Ляпунова при исследовании
устойчивости рассматриваются не все
возмущенные движения, а лишь те, которые
вызываются начальными условиями
при условии, что
.
Поэтому в дальнейшем будут рассматриваться
возмущенные движения только вида
при
.
С
тем, чтобы упростить задачу исследования
устойчивости невозмущенного движения,
обычно рассматривается вектор отклонений
возмущенного движения
от невозмущенного
.
Чтобы получить уравнения движения
динамической системы в отклонениях,
продифференцируем
по времени и учтём, что и вектор
,
и вектор
удовлетворяют уравнению (12.1), так как
являются его решениями. Тогда с учетом
(12.3) будем иметь
или
,
(12.4)
где
.
При этом, очевидно, всегда выполняются
условия
,
(12.5)
.
(12.6)
Уравнение
(12.4) и есть нелинейное уравнение
в отклонениях
возмущенных движений исследуемой
системы любого порядка n.
Его решение
описывает невозмущенное движение этой
системы. Другими словами, в переменных
состояния
невозмущенное движение описывается
выражением
или, как часто говорят, нулевым, тривиальным
решением системы (12.4). Последнее,
в силу условия (12.6), соответствует
положению равновесия системы (12.4).
Остальные решения
этой системы описывают возмущенные
движения исследуемой системы (12.1) или
эквивалентной ей системы (12.4). Решение
,
очевидно, описывает свободное движение
системы (12.4).
Таким образом, задача исследования устойчивости движений нелинейных динамических систем достаточно общего вида, описываемых нелинейной системой дифференциальных уравнений (12.1), была сведена Ляпуновым к задаче исследования устойчивости положения равновесия нелинейной дифференциальной системы (12.4) и состоит в изучении характера общего решения этой системы. Для решения этой задачи А. М. Ляпуновым было предложено два метода. Первый из них заключается в линеаризации системы (12.4), т.е. в изучении свойств системы первого приближения, а второй – в применении специальных функций Ляпунова.