5. Составление двойственной задачи линейного программирования для второй задачи и решить её симплекс-методом.
Сформулируем двойственную задачу:
Прямая задача для нашего случая формулируется так:
Двойственная:
=> LL(x)=(13y1+5y2+5y3) min
В данной системе ограничений отсутствует условие неотрицательности, без которого в дальнейшем нельзя решать задачу симплекс-методом. Введем условие неотрицательности, добавив замены:
Система ограничений преобразуется:
L=13(y’1-y’’2)+5(y’2-y’’2)+5(y’3-y’’3) min
Предварительно двойственную задачу
приводим к каноническому виду. Для
уравнения неравенств, вычитаем
соответственно из каждого по одной
неотрицательной переменной - 
,
,
,
,
.
Чтобы в каждом уравнении была переменная
с коэффициентом 1, то добавим соответственно
в каждое уравнение по одной искусственной
переменной -
,
,
,
,
.
Переменные , , , , . – базисные, так как входят соответственно в каждое уравнение системы с коэффициентом 1, а в другие с коэффициентом 0.
L=13(y’1-y’’2)+5(y’2-y’’2)+5(y’3-y’’3) min
баз |
y1' |
y1'' |
y2' |
y2'' |
y3' |
y3'' |
y4 |
s1 |
s2 |
s3 |
s4 |
r1 |
r2 |
r3 |
r4 |
r5 |
реш |
отн |
r1 |
5 |
-5 |
2 |
-2 |
1 |
-1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
r2 |
-2 |
2 |
-1 |
1 |
2 |
-2 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
- |
r3 |
2 |
-2 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
r4 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
4 |
-4 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
4 |
4 |
r5 |
-1 |
1 |
1 |
-1 |
-2 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
- |
L |
13 |
-13 |
5 |
-5 |
5 |
-5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
- |
W |
-5 |
5 |
-2 |
2 |
-5 |
5 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-5 |
- |
баз |
y1' |
y1'' |
y2' |
y2'' |
y3' |
y3'' |
y4 |
s1 |
s2 |
s3 |
s4 |
r1 |
r2 |
r3 |
r4 |
r5 |
реш |
отн |
r1 |
1 |
-1 |
0,4 |
-0,4 |
0,2 |
-0,2 |
-0,2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
r2 |
0 |
0 |
-0,2 |
0,2 |
2,4 |
-2,4 |
-0,4 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0,4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
r3 |
0 |
0 |
0,2 |
-0,2 |
-0,4 |
0,4 |
0,4 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
-0,4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
- |
r4 |
0 |
0 |
-1,4 |
1,4 |
3,8 |
-3,8 |
0,2 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
-0,2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
4 |
1,05 |
r5 |
0 |
0 |
1,4 |
-1,4 |
-1,8 |
1,8 |
-0,2 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0,2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
- |
L |
0 |
0 |
-0,2 |
0,2 |
2,4 |
-2,4 |
2,6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-2,6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
- |
W |
0 |
0 |
0 |
0 |
-4 |
4 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-5 |
- |
баз |
y1' |
y1'' |
y2' |
y2'' |
y3' |
y3'' |
y4 |
s1 |
s2 |
s3 |
s4 |
r1 |
r2 |
r3 |
r4 |
r5 |
реш |
отн |
y1' |
1 |
-1 |
5/12 |
-5/12 |
0 |
0 |
-1/6 |
1/12 |
0 |
0 |
0 |
1/6 |
-1/12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
- |
y3' |
0 |
0 |
-1/12 |
1/12 |
1 |
-1 |
-1/6 |
-5/12 |
0 |
0 |
0 |
1/6 |
5/12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
- |
r3 |
0 |
0 |
1/6 |
-1/6 |
0 |
0 |
1/3 |
-1/6 |
-1 |
0 |
0 |
-1/3 |
1/6 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
r4 |
0 |
0 |
-13/12 |
13/12 |
0 |
0 |
5/6 |
19/12 |
0 |
-1 |
0 |
-5/6 |
-19/12 |
0 |
1 |
0 |
4 |
24/5 |
r5 |
0 |
0 |
5/4 |
-5/4 |
0 |
0 |
-1/2 |
-3/4 |
0 |
0 |
-1 |
1/2 |
3/4 |
0 |
0 |
1 |
1 |
- |
L |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-3 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
- |
W |
0 |
0 |
-1/3 |
1/3 |
0 |
0 |
-2/3 |
-2/3 |
1 |
1 |
1 |
2/3 |
2/3 |
0 |
0 |
0 |
-5 |
- |
баз |
y1' |
y1'' |
y2' |
y2'' |
y3' |
y3'' |
y4 |
s1 |
s2 |
s3 |
s4 |
r1 |
r2 |
r3 |
r4 |
r5 |
реш |
отн |
y1' |
1 |
-1 |
1/2 |
-1/2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1/2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1/2 |
0 |
0 |
0 |
- |
y3' |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
-1/2 |
-1/2 |
0 |
0 |
0 |
1/2 |
1/2 |
0 |
0 |
0 |
- |
y4 |
0 |
0 |
1/2 |
-1/2 |
0 |
0 |
1 |
-1/2 |
-3 |
0 |
0 |
-1 |
1/2 |
3 |
0 |
0 |
0 |
- |
r4 |
0 |
0 |
-3/2 |
3/2 |
0 |
0 |
0 |
2 |
3/2 |
-1 |
0 |
0 |
-2 |
-5/2 |
1 |
0 |
4 |
2 |
r5 |
0 |
0 |
3/2 |
-3/2 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-3/2 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
3/2 |
0 |
1 |
1 |
- |
L |
0 |
0 |
-3/2 |
3/2 |
0 |
0 |
0 |
5/4 |
9 |
0 |
0 |
0 |
-3/2 |
-9 |
0 |
0 |
0 |
- |
W |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
0 |
0 |
-5 |
- |
баз |
y1' |
y1'' |
y2' |
y2'' |
y3' |
y3'' |
y4 |
s1 |
s2 |
s3 |
s4 |
r1 |
r2 |
r3 |
r4 |
r5 |
реш |
отн |
y1' |
1 |
-1 |
1/2 |
-1/2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1/2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1/2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
y3' |
0 |
0 |
-3/8 |
3/8 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
1/8 |
-1/4 |
0 |
0 |
0 |
-1/8 |
1/4 |
0 |
1 |
- |
y4 |
0 |
0 |
1/8 |
-1/8 |
0 |
0 |
1 |
0 |
-19/4 |
-1/4 |
0 |
-1 |
0 |
19/4 |
1/4 |
0 |
1 |
8 |
r4 |
0 |
0 |
-3/4 |
3/4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
5/4 |
-1/2 |
0 |
0 |
-1 |
-5/4 |
1/2 |
0 |
2 |
- |
r5 |
0 |
0 |
3/4 |
-3/4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1/4 |
-1/2 |
-1 |
0 |
0 |
1/4 |
1/2 |
1 |
3 |
4 |
L |
0 |
0 |
3/8 |
-3/8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
47/8 |
1/4 |
0 |
0 |
0 |
-47/8 |
-5/4 |
0 |
-5 |
- |
W |
0 |
0 |
-3/4 |
3/4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1/4 |
1/2 |
1 |
1 |
1 |
3/4 |
1/2 |
0 |
-3 |
- |
баз |
y1' |
y1'' |
y2' |
y2'' |
y3' |
y3'' |
y4 |
s1 |
s2 |
s3 |
s4 |
r1 |
r2 |
r3 |
r4 |
r5 |
реш |
отн |
y2' |
2 |
-2 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
y3' |
3/4 |
-3/4 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
-1/4 |
-1/4 |
0 |
0 |
0 |
1/4 |
1/4 |
0 |
1 |
- |
y4 |
-1/4 |
1/4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
-9/4 |
-1/4 |
0 |
-1 |
0 |
9/4 |
1/4 |
0 |
1 |
4 |
r4 |
3/2 |
-3/2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1/2 |
-1/2 |
0 |
0 |
-1 |
1/2 |
1/2 |
0 |
2 |
- |
r5 |
-3/2 |
3/2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1/2 |
-1/2 |
-1 |
0 |
0 |
-1/2 |
1/2 |
1 |
3 |
2 |
L |
-3/4 |
3/4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
25/4 |
5/4 |
0 |
0 |
0 |
-25/4 |
-9/4 |
0 |
-5 |
- |
W |
3/2 |
-3/2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1/2 |
1/2 |
1 |
1 |
1 |
1/2 |
1/2 |
0 |
-3 |
- |
баз |
y1' |
y1'' |
y2' |
y2'' |
y3' |
y3'' |
y4 |
s1 |
s2 |
s3 |
s4 |
r1 |
r2 |
r3 |
r4 |
r5 |
реш |
отн |
y1' |
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1/3 |
-2/3 |
-4/3 |
0 |
0 |
1/3 |
2/3 |
2/3 |
4 |
- |
y3' |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1/2 |
-1/2 |
0 |
0 |
0 |
1/2 |
1/2 |
2,5 |
- |
y4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
-2,33 |
-1/6 |
1/6 |
-1 |
0 |
7/3 |
1/6 |
1/6 |
0,5 |
- |
r4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
0 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
5 |
- |
y1'' |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1/3 |
-1/3 |
-2/3 |
0 |
0 |
-1/3 |
1/3 |
2/3 |
2 |
- |
L |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
1,5 |
1/2 |
0 |
0 |
-6 |
-3/2 |
-1/2 |
-6,5 |
- |
W |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
- |
баз |
y1' |
y1'' |
y2' |
y2'' |
y3' |
y3'' |
y4 |
s1 |
s2 |
s3 |
s4 |
реш |
y1' |
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1/3 |
-2/3 |
-4/3 |
4 |
y3' |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1/2 |
-1/2 |
2,5 |
y4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
-2,33 |
-1/6 |
1/6 |
0,5 |
y1'' |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
5 |
r5 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1/3 |
-1/3 |
-2/3 |
2 |
L |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
1,5 |
1/2 |
-6,5 |
Ответ: 6,5.
Результаты совпадают.