3. Матричный метод решения систем дифференциальных уравнений

Матричный метод. Из характеристического уравнения det(A− λE) =0 находят различные корни λ1, λ2,…, λs.

и для каждого корня λ (с учетом его кратности) определяют соответствующее ему

частное решение Y^ λ(x). Общее решение имеет вид Y(x)=C_k Y^лk (x).

При этом, если а)

λ −действительный корень кратности 1 (один), то Y^л (x)=Y^л e^лx =( )*e^лx

где Y^л собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению λ т.е. AY^л = λY^л , Y^л != 0.

Если б) λ −комплексный корень кратности 1 (один), тогда корнем характеристического

уравнения является также сопряженное с λ число !λ . Вместо комплексных частных

решений Y^л (x) и Y^!л(x) следует взять действительные частные решения Y₁^л(x) = ReY^л(x) и Y^л(x) = ImY^л(x)

4. Алгебраические действия и их свойства

тетрадь

5. Группы и их простейшие свойства

1) Гру́ппа — непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам.

Группы являются важными инструментами в изучении симметрии во всех её проявлениях. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп.

Примерами групп являются действительные числа с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат и т. п.

Непустое множество   с заданной на нём бинарной операцией   называется группой  , если выполнены следующие аксиомы:

1. ассоциативность:  ;

2. наличие нейтрального элемента:  ;

3. наличие обратного элемента: 

2) Простейшие свойства

• Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.

• (a⁻¹)⁻¹ = a, a^maⁿ = a^m+n, (a^m)ⁿ = a^mn.

• (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹.

• Верны законы сокращения:

,

.

• Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.

• Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».

• Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.

+ тетрадь

6. Подгруппы, определение, критерий, свойства

Подгруппа ― подмножество   группы  , само являющееся группой относительно операции, определяющей  .

Подмножество   группы   является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

1.  содержит единичный элемент из 

2. содержит произведение любых двух элементов из  ,

3. содержит вместе со всяким своим элементом   обратный к нему элемент  .

Примеры:

• Подмножество группы  , состоящее из одного элемента  , будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы  .

• Сама   также является своей подгруппой.

Свойства:

• Непустое множество   является подгруппой группы   тогда и только тогда, когда для любых   выполняется 

• Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы   является подгруппой группы  .

• Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп   и   называется подгруппа, порожденная объединением множеств  .

• Гомоморфный образ подгрупп ― подгруппа.

• Если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда ещё не следует изоморфизм самих этих групп.

Теорема 3.7 (критерий подгруппы). Пусть G = – группа и H = – подгруппа группы G, если выполняются следующие условия:

1) для любых элементов элемент также принадлежит множеству

2) для каждого элемента симметричный ему элемент также принадлежит множеству

Замечания.

1. Любая группа является своей подгруппой.

2. Множество, состоящее только из нейтрального элемента группы, также будет подгруппой этой группы.

3. Требование для подгруппы быть группой относительно той же бинарной операции, которая определена в основной группе, является существенным и его нельзя нарушать.

+ немного в тетради