7.2. Вероятность как функция события

Рассмотрим пространство элементарных (полную группу попарно несовместных) равновозможных событий и рассмотри систему событий S, состоящую из невозможного события , всех событий пространства G и всех событий А, которые могут быть подразделены на частные случаи, входящие в состав пространства G.

Пример. Если , то

.

Лемма. Система S является полем событий.

Доказательство. Сумма, разность и произведение событий из S входят в S (перебор случаев для ); невозможное событие входит в S по определению, а достоверное событие входит в S, так как оно представляется в виде .Лемма доказана.

В соответствии с приведённым определением каждому событию А, принадлежащему к построенному полю событий S, приписывается вероятность , где есть число тех событий исходной группы G, которые являются частными случаями события А. Таким образом, вероятность можно рассматривать как функцию от события А, определенную на поле событий S.

Свойства вероятности как функции события

1. Для каждого события А поля S .

Действительно, т.к. дробь не может быть отрицательной.

2. Для достоверного события .

Действительно, т.к. достоверному событию благоприятствуют все , .

3. Если событие А подразделяется на частные случаи В и С и все три события А, В и С принадлежат полю S, то .

Доказательство. Пусть событию В благоприятствуют , а событию С – событий системы G. Так как события В и С по допущению несовместны, то события , благоприятные одному из них, отличны от событий , благоприятных другому. Всего, таким образом, имеется событий , благоприятных появлению одного из событий В или С, т.е. благоприятных событию А=В+С. Следовательно, . Свойство доказано.

Замечание. Свойство 3 называют теоремой сложения вероятностей несовместных событий. Оно может быть сформулировано так: вероятность наступления хотя бы одного из несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Свойство 3 можно обобщить на любое конечное число попарно несовместных событий.

4. Вероятность события , противоположного событию А, равна .

Доказательство. Так как , то по свойству 2 . Так как события А и несовместны, то по свойству 3 . Следовательно, и . Свойство доказано.

5. Вероятность невозможного события равна нулю.

Доказательство. События и несовместимы, поэтому , откуда следует, что .

6. Если событие А влечёт за собой событие В, то .

Доказательство. Событие В может быть представлено в виде . Отсюда в силу свойств 3 и 1 получаем .

7. Вероятность любого события заключена между нулём и единицей.

Доказательство. Из-за того, что для любого события А имеют место соотношения , то в силу свойства 7 имеем неравенства: .

Замечание 1. Свойства 2, 5, 7 совпадают со свойствами, полученными из классического определения вероятностей.

Замечание 2. В случае статистического определения вероятности также имеют место свойства 2, 5, 3.

Пример 1. В ящике 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых шаров. Вынули один шар. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Пусть событие А – появление красного шара, а событие В – появление синего шара. Тогда событие А+В – появление цветного шара. Вероятность события А: . Вероятность события В: . Появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета, поэтому события А и В несовместны. По теореме о сложении вероятностей несовместных событий .

Пример 2. Из колоды в 36 карт наудачу вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

Решение. В рассматриваемой задаче «наудачу» означает, что всевозможные комбинации по 3 карты равновероятны.

1 способ. Пусть событие А – в вынутых 3-х картах окажется хотя бы один туз, т.е. имеет место одно несовместных из событий: либо - один туз, либо - 2 туза, либо - 3 туза. Общее число равновозможных случаев . Число случаев, благоприятных событию равно , событию – , событию – . Тогда вероятности событий , , равны соответственно

, ,

.

В силу теоремы сложения .

2 способ. Событие , противоположное событию А, состоит в том, что среди вынутых карт не окажется ни одного туза. Три нетуза можно вынуть из колоды карт способами (число исходов, благоприятных событию ). Общее число равновозможных случаев . Тогда , и искомая вероятность равна .

Ответ: .