2.1. Одноканальная смо с отказами

Граф состояний СМО:

Обозначим вероятности состояний:

Замечание. Вероятности состояний рассчитываются исходя из уравнений Колмогорова (4.8) или (4.9).

В теории СМО [5, глава 3] доказано, что

Абсолютная пропускная способность:

Вероятность отказа в обслуживании заявки:

Пример 5.1. На пост мойки автомобилей, предназначенный для обслуживания одного автомобиля за один сеанс, в случайный момент времени прибывает автомобиль. Если автомобиль прибыл в момент, когда пост занят, он получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобиле 0,1 автомобиль в час, средняя продолжительность обслуживания – 1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживания являются простейшими. Рассчитать: а) абсолютную и относительную пропускную способности поста, б) вероятности отказа. Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа, автомобили следовали бы один за другим без перерыва.

Решение. 1) Определим интенсивность потока обслуживания:

2) Вычислим относительную пропускную способность:

Величина означает, что

3) Абсолютная пропускная способность

4) Вероятность отказа

5) Номинальная пропускная способность СМО:

Ответ.

2.2. Одноканальная смо с ожиданием и ограниченной длиной очереди

Число каналов:

Входящий поток:

Интенсивность потока обслуживания:

Длительность обслуживания:

Поток обслуживания является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Пусть данная система может вместить не более

Т.е.

Источник, порождающий заявки на обслуживание имеет неограниченную ёмкость.

Граф состояний СМО:

Для стационарного (установившегося) процесса на основании уравнений (4.9) имеем:

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди, равной

Вероятность отказа в обслуживании заявки:

Относительная пропускная способность системы:

Абсолютная пропускная способность системы:

Среднее число, находящихся в системе заявок:

Среднее время пребывания заявки в системе

Среднее время пребывания заявки в очереди:

Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

Пример 5.2. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограничено и равно 3 (N-1). Если все стоянки заняты, то очередной автомобиль, прибывший на стоянку в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, пребывающих на диагностику, является пуассоновским с интенсивностью 0,85 (автомобилей в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 часа. Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в установившемся (стационарном) режиме.

Решение. 1) Интенсивность обслуживания потока автомобилей:

2) Приведённая интенсивность потока автомобилей:

3) Финальные вероятности системы:

4) Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

5) Относительная пропускная способность поста диагностики:

6) Абсолютная пропускная способность поста диагностики

7) Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (в СМО)

8) Среднее время пребывания автомобиля в системе:

9) Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

10) Длина очереди (среднее число заявок в очереди)

Анализ эффективности работы поста: