1.4 Проверка гипотезы об однородности (равенстве) математического ожидания двух нормально распределенных генеральных совокупностей.

Пусть – две независимые нормально-распределенные генеральные совокупности . и .

1) неизвестны.

Пусть случайная выборка из генеральной совокупности , а - случайная выборка из генеральной совокупности

Ставится задача с уровнем значимости α о проверке гипотезы Н_0.

Если Н₀ : .

а) Пусть дисперсии известны.

Тогда для проверки гипотезы Н₀ используется статистика:

Согласно одному из следствий закона Фишера, при условии Н₀ распределена по стандартному нормальному закону распределения с параметрами (0;1).

Н₁: , тогда строиться левосторонняя критическая область

Если Н₁: , тогда строиться правосторонняя критическая область

Если Н₁: , тогда строиться критическая область

; .

Если наблюдаемое значение статистики:

б) Пусть дисперсии неизвестны, но ,

Тогда для проверки гипотезы Н₀ используется статистика:

Согласно 4 следствию теоремы Фишера, при справедливости Н₀ имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы:

Если Н₁: , тогда строиться левосторонняя критическая область

Если Н₁: , тогда строиться правосторонняя критическая область

Если Н₁: , тогда строиться двухсторонняя критическая область

; .

Если наблюдаемое значение статистики:

1.5 Проверка гипотезы об однородности (равенстве) дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей.

Пусть случайная выборка из генеральной совокупности , а - случайная выборка из генеральной совокупности

неизвестны.

Ставится задача с уровнем значимости α о проверке гипотезы Н_0.

Если Н₀ : .

а) Пусть дисперсии известны.

Тогда для проверки гипотезы Н₀ используется статистика:

.

Статистика F согласно теории Фишера, при справедливом Н₀ имеет вид распределения Фишера, с числом степеней свободы и .

Строится всегда правосторонняя критическая область :

Н₁:

– квантиль уровня 1- α , распределения Стьюдента, с числом степеней свободы .

Находятся с помощью функции Excel «= Fраспобр(α;

Если наблюдаемое значение статистики:

2. Практическая часть

2.1 Проверка гипотез о значении математического ожидания и дисперсии для 1й генеральной совокупности.

Предполагая нормальный закон распределения 1й генеральной совокупности, на уровне значимости α=0,05 проверим гипотезу о значении математического ожидания и дисперсии 1й генеральной совокупности.

① Проверим гипотезу о значении математического ожидания.

Имеем данные: n=50, =18,57 , S=21,32 , S² = 454,7.

В данном примере σ² не известна, поэтому воспользуемся следующей статистикой:

И формулой наблюдаемого значения статистики:

1. H₀ : m₀ = 14 Доверительный интервал:

H₁ : = 24 12,67 < m < 24,47

Т.к. > , то строится правосторонняя критическая область

Т_кр.пр. = = = = СТЬЮДРАСПОБР(2*0,05;50-1)=1,68

Т.к. Т_набл. = 1,5 не попадает в критич. Обл. (1,68; +∞), то на уровне значимости α=0,05 нулевая гипотеза принимается.

2) H₀ : m₀ =14

H₁ : = 12

Т.к. < , то строится левосторонняя критическая область

Т_кр.лев. =- =- = СТЬЮДРАСПОБР(2*0,05;50-1)=-1,68

Т.к. Т_набл. = 1,5 не попадает в критич. Обл. (-∞;-1,68), то на уровне значимости α=0,05 нулевая гипотеза принимается.

3) H₀ : m₀ =14

H₁ : = 12

Т.к. ≠ , то строится двусторонняя критическая область

Т_кр.1 = - = СТЬЮДРАСПОБР(0,05;49)

Т_кр.2 =

Т_кр.1 = -2,01

Т_кр.2 = 2,01

Т.к. Т_набл. = 1,5 не попадает в критич. Обл. (-∞;-2,01)⋃(2,01;+∞) , то на уровне значимости α=0,05 нулевая гипотеза принимается.

② Проверим гипотезу о значении дисперсии.

Имеем данные: n=50, S² = 454,7. Доверительный интервал: (326,16<σ²<731,7)

Воспользуемся статистикой:

1. H₀ : =400

H₁ : = 500

Т.к. > , то строится правосторонняя критическая область

X²_{кр. прав} = = = = ХИ2ОБР(0,05;50-1)=66,34

X²_набл. =

Т.к. X²_набл. = 56,83 не попадает в критич. Обл. (66,34; +∞), то на уровне значимости α=0,05 нулевая гипотеза H₀ принимается.

2) H₀ : =400

H₁ : = 300

Т.к. < , то строится левосторонняя критическая область

X²_{кр. лев} = = = ХИ2ОБР(1-0,05;50-1)=33,93

X²_набл. =

Т.к. X²_набл. = 56,83 не попадает в критич. Обл. (-∞; 33,93) ,то на уровне значимости α=0,05 нулевая гипотеза H₀ принимается.

3) H₀ : =400

H₁ : = 500

Т.к. ≠ , то строится двусторонняя критическая область

X²_{кр. 1} = = = ХИ2ОБР(1-0,05/2;50-1)=31,55

X²_кр.2 = = = ХИ2ОБР(0.025/2;50-1)=70,22

X²_набл. =

Т.к. Т_набл. = 56,83 не попадает в критич. Обл. (-∞;31,55)⋃(70,22;+∞) , то на уровне значимости α=0,05 нулевая гипотеза принимается.

2.2 Проверка гипотез о значении математического ожидания и дисперсии для 2й генеральной совокупности.

Предполагая нормальный закон распределения 2й генеральной совокупности, на уровне значимости α=0,05 проверим гипотезу о значении математического ожидания и дисперсии 2й генеральной совокупности.

① Проверим гипотезу о значении математического ожидания.

Имеем данные: n=50, =752,54 , S=12,71 , S² = 161,64.

В данном примере σ² не известна, поэтому воспользуемся следующей статистикой:

И формулой наблюдаемого значения статистики:

1. H₀ : m₀ = 750 Доверительный интервал:

H₁ : = 755 748,9 < m < 756,18

Т.к. > , то строится правосторонняя критическая область

Т_кр.пр. = = = = СТЬЮДРАСПОБР(2*0,05;50-1)=1,68

Т.к. Т_набл. = 1,398 не попадает в критич. Обл. (1,68; +∞), то на уровне значимости α=0,05 нулевая гипотеза принимается.

2) H₀ : m₀ =750

H₁ : = 749

Т.к. < , то строится левосторонняя критическая область

Т_кр.лев. =- =- = СТЬЮДРАСПОБР(2*0,05;50-1)=-1,68

Т.к. Т_набл. = 1,398 не попадает в критич. Обл. (-∞;-1,68), то на уровне значимости α=0,05 нулевая гипотеза принимается.

3) H₀ : m₀ =750

H₁ : = 749

Т.к. ≠ , то строится двусторонняя критическая область

Т_кр.1 = - = СТЬЮДРАСПОБР(0,05;49)

Т_кр.2 =

Т_кр.1 = -2,01

Т_кр.2 = 2,01

Т.к. Т_набл. = 1,398 не попадает в критич. Обл. (-∞;-2,01)⋃(2,01;+∞) , то на уровне значимости α=0,05 нулевая гипотеза принимается.

② Проверим гипотезу о значении дисперсии.

Имеем данные: n=50, S² = 161,64. Доверительный интервал: (115,09<σ²<256,13)

Воспользуемся статистикой:

1. H₀ : =150

H₁ : = 200

Т.к. > , то строится правосторонняя критическая область

X²_{кр. прав} = = = = ХИ2ОБР(0,05;50-1)=66,34

X²_набл. =

Т.к. X²_набл. = 53,88 не попадает в критич. Обл. (66,34; +∞), то на уровне значимости α=0,05 нулевая гипотеза H₀ принимается.

2) H₀ : =150

H₁ : = 120

Т.к. < , то строится левосторонняя критическая область

X²_{кр. лев} = = = ХИ2ОБР(1-0,05;50-1)=33,93

X²_набл. =

Т.к. X²_набл. = 53,88 не попадает в критич. Обл. (-∞; 33,93) ,то на уровне значимости α=0,05 нулевая гипотеза H₀ принимается.

3) H₀ : =150

H₁ : = 120

Т.к. ≠ , то строится двусторонняя критическая область

X²_{кр. 1} = = = ХИ2ОБР(1-0,05/2;50-1)=31,55

X²_кр.2 = = = ХИ2ОБР(0.025/2;50-1)=70,22

X²_набл. =

Т.к. Т_набл. = 53,88 не попадает в критич. Обл. (-∞;31,55)⋃(70,22;+∞) , то на уровне значимости α=0,05 нулевая гипотеза принимается.

2.3 Проверка гипотез о значении математического ожидания и дисперсии для 3й генеральной совокупности.

Предполагая нормальный закон распределения 3й генеральной совокупности, на уровне значимости α=0,05 проверим гипотезу о значении математического ожидания и дисперсии 3й генеральной совокупности.

① Проверим гипотезу о значении математического ожидания.

Имеем данные: n=50, =466,24 , S=6,07 , S² = 36,88.

В данном примере σ² не известна, поэтому воспользуемся следующей статистикой:

И формулой наблюдаемого значения статистики:

2. H₀ : m₀ = 465 Доверительный интервал:

H₁ : = 466 464,56 < m < 467,92

Т.к. > , то строится правосторонняя критическая область

Т_кр.пр. = = = = СТЬЮДРАСПОБР(2*0,05;50-1)=1,68

Т.к. Т_набл. = 1,43 не попадает в критич. Обл. (1,68; +∞), то на уровне значимости α=0,05 нулевая гипотеза принимается.

2) H₀ : m₀ =465

H₁ : =464,6

Т.к. < , то строится левосторонняя критическая область

Т_кр.лев. =- =- = СТЬЮДРАСПОБР(2*0,05;50-1)=-1,68

Т.к. Т_набл. = 1,43 не попадает в критич. Обл. (-∞;-1,68), то на уровне значимости α=0,05 нулевая гипотеза принимается.

3) H₀ : m₀ =465

H₁ : =466

Т.к. ≠ , то строится двусторонняя критическая область

Т_кр.1 = - = СТЬЮДРАСПОБР(0,05;49)

Т_кр.2 =

Т_кр.1 = -2,01

Т_кр.2 = 2,01

Т.к. Т_набл. = 1,43 не попадает в критич. Обл. (-∞;-2,01)⋃(2,01;+∞) , то на уровне значимости α=0,05 нулевая гипотеза принимается.

② Проверим гипотезу о значении дисперсии.

Имеем данные: n=50, S² = 36,88. Доверительный интервал: (26,41<σ²<59,2)

Воспользуемся статистикой:

1)H₀ : =30

H₁ : = 40

Т.к. > , то строится правосторонняя критическая область

X²_{кр. прав} = = = = ХИ2ОБР(0,05;50-1)=66,34

X²_набл. =

Т.к. X²_набл. = 61,46 не попадает в критич. Обл. (66,34; +∞), то на уровне значимости α=0,05 нулевая гипотеза H₀ принимается.

2) H₀ : =30

H₁ : = 25

Т.к. < , то строится левосторонняя критическая область

X²_{кр. лев} = = = ХИ2ОБР(1-0,05;50-1)=33,93

X²_набл. =

Т.к. X²_набл. = 56,83 не попадает в критич. Обл. (-∞; 33,93) ,то на уровне значимости α=0,05 нулевая гипотеза H₀ принимается.

3) H₀ : =30

H₁ : = 25

Т.к. ≠ , то строится двусторонняя критическая область

X²_{кр. 1} = = = ХИ2ОБР(1-0,05/2;50-1)=31,55

X²_кр.2 = = = ХИ2ОБР(0.025/2;50-1)=70,22

X²_набл. =

Т.к. Т_набл. = 61,46 не попадает в критич. Обл. (-∞;31,55)⋃(70,22;+∞) , то на уровне значимости α=0,05 нулевая гипотеза принимается.