Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет экономики и управления

Кафедра математических методов и моделей в экономике

ОТЧЕТ

По лабораторной работе № 5

по дисциплине ”Теория вероятностей и математическая статистика“

«Проверка параметрических гипотез»

Вариант 18

Руководитель работы

________ Ю.А. Жемчужникова

"___"______________2013 г.

Исполнитель

студентка группы 11Эк(б) ФК-2

__________ М.С. Гусева

"___"_______________2013 г.

Оренбург 2013

Задание.

Исходные данные: выборки из трех генеральных совокупностей.

Предполагая нормальный закон распределения генеральных совокупностей на уровне значимости 0,05 проверить следующие гипотезы:

1. О значении математического ожидания каждой из генеральных совокупностей (предполагаемые значения математических ожиданий выбрать самостоятельно таким образом, чтобы продемонстрировать умение строить лево-, право- и двустороннюю критические области);

2. О значении дисперсии каждой из генеральных совокупностей (предполагаемые значения дисперсий выбрать самостоятельно таким образом, чтобы продемонстрировать умение строить лево-, право- и двустороннюю критические области);

3. Для двух любых совокупностей проверить гипотезу о равенстве дисперсий. Если она принимается, проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий.

1. Теоретическая часть

1. Проверка параметрических гипотез

Статистическая гипотеза относительно неизвестного параметра распределения генеральной совокупности называется параметрической.

Также как и при проверке непараметрических гипотез необходимо сформулировать H₀- основную гипотезу, H₁- альтернативную гипотезу.

Статистическую гипотезу называют простой, если она имеет вид θ=θ₀, где θ – это неизвестный параметр, а θ₀ – заданное значение параметра.

Статистическую гипотезу называют сложной, если она имеет вид: θ∈н, где н- множество значений параметра θ.

Пример: θ>θ₀

Чаще всего H₀ – является простой гипотезой, а H₁ – сложной.

Пусть H₀ : θ=θ₀ , тогда альтернативная гипотеза может быть сформирована одним из следующих способов:

H₁ : θ>θ₀ или H₁ : θ<θ₀ или H₁ : θ ≠ θ

Задача состоит в том, чтобы на основе выборки (X_1,n) сделать вывод H₀ верна или нет. Вид гипотезы H₁ определяется установкой задачи.

Так же, как и при проверке гипотезы о законе распределения, необходимо построить статистический критерий, который определяет правила, при котором H₀ отвергается или принимается.

В основе статистического критерия лежит статистика , закон распределения которой известен. Всё множество значений статистики разбивается на 2 непересекающихся подмножества.

Критическая область (Ω₀) – множество значений статистики, при котором гипотеза H₀ отвергается.

Область принятых решений – множество значений статистики, при котором гипотеза H₀ принимается.

Если θ – это один параметр, то критическая область и область принятия решений – некоторый интервал или объединение интервалов. Точки, разделяющие эти множества – критические. Их может быть две или одна.

Проверка статистической гипотезы основывается на принципе невозможности маловероятных событий. Этот принцип реализуется также, как и при проверке непараметрических гипотез, т.е. задается некоторая малая вероятность - называется уровнем значимости и критическая область строится по правилу:

Если , то H₀ – отвергается, иначе принимается.

Несмотря на то, что близко к нулю, например , вероятность отклонить верную гипотезу существует.

Таким образом, при проверке гипотез можно совершить ошибки следующих видов:

1. отклонить верную гипотезу – ошибка 1го рода. Её вероятность равна

2. принять неверную гипотезу – ошибка 2го рода

Вероятность определяет размер критической области, с уменьшением уменьшается критическая область, однако при этом может возрастать вероятность ошибки 2го рода, равная . Это вероятность отклонить гипотезу H₀ при условии, сто верна гипотеза H_1. Таким образом, критическая область (Ω₀) строится из следующего:

2. 

Положение критической области на множестве значений определяется формулировкой значений:

1случай: H₀ : θ=θ₀

H₁ : θ>θ₀

В этом случае будет строится правосторонняя критическая область – это будет интервал (T_кр.пр; + ∞).

Т_кр.пр. определяется из уравнения:

2 случай: H₀ : θ=θ₀

H₁ : θ <θ₀

Строится левосторонняя критическая область, это будет интервал (-∞;T_кр.лев)

T_кр.лев определяется из

3 случай: H₀ : θ=θ₀

H₁ : θ ≠ θ₀

Строится двусторонняя критическая область, она будет представлять собой объединение 2х интервалов: (-∞; Т_кр.1)⋃(Т_кр.2 ; +∞ ).

Для нахождения

Алгоритм проверки параметрической статистики можно сформулировать следующим образом:

1. Формулировка H_{0 ,} H₁

2. Задать уровень значимости

3. Выбрать статистику

4. Установить её закон распределения при условии, что H₀ верна

5. Построить критическую область Ω₀

6. Вычислить наблюдаемое значение статистики на основе выборки

7. Если Т_набл. ∈ Ω₀ , то H₀ отклонить, в противном случае – принять

Замечание: Статистика строится из тех же соображений, что при построении доверительных интервалов, т.е. закон распределения не должен зависеть от θ и структура статистики должна содержать либо отклонение оценки и оцениваемого параметра.