7.2.3. Вычисление коэффициентов ряда
Исходя из выше изложенной формулы для коэффициентов находим:
Далее вычисление коэффициентов осложнено, поэтому произведем вычисление на компьютере в системе MathCad и за одно проверим уже найденные:
Рассмотрим
процесс изменения суммы полинома,
прибавляя поочередно
-
слагаемое:
Рис.7.2.1
Рис.7.2.2
Рис.7.2.3
Рис.7.2.4
Рис.7.2.5
А теперь рассмотрим график суммы пяти полиномов F(t) на промежутки от -1 до 0 (рис.7.2.6):
Рис.7.2.6
т.к. очевидно, что на промежутке от 0 до 1 будет нуль.
Раздел 8. Дискретные преобразования Фурье
Тема 8.1. Прямое преобразование
Для того чтобы произвести прямое преобразование, необходимо задать данную функцию (рис. 7.1.1) таблично. Поэтому разбиваем отрезок от 0 до на N=8 частей, так чтобы приращение:
В
нашем случае
,
и значения функции в k-ых точках будет:
для
нашего случая
(т.к.
a=0).
Составим табличную функцию:
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
0 |
0.785 |
1.571 |
2.356 |
3.142 |
3.927 |
4.712 |
5.498 |
|
0 |
0.707 |
1 |
0.707 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Табл.7.1.1
Прямым
дискретным преобразованием Фурье
вектора
называется
.
Поэтому найдем :
,
n=0,1,...,N-1
Сумму находим только до 3 слагаемого, т.к. очевидно, что от 4 до 7 к сумме суммируется 0 (т.к. значения функции из таблицы равны нулю).
Составим таблицу по прямому дискретному преобразованию:
зная,
,
где
,
где
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
2,4 |
2 |
1 |
0 |
0.4 |
0 |
1 |
2 |
|
0.318 |
0.25 |
0.106 |
0 |
0.021 |
0 |
0.009 |
0 |
Табл.7.1.2
Амплитудный
спектр
Тема 8.2. Обратное преобразование
Обратимся к теории п.6.4.3. Обратное преобразование- есть функция :
В данном случае это:
Табл.8.1.1
А
теперь найдем модули
и составим таблицу по обратным дискретным
преобразованиям:
Табл.8.1.2
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
0 |
0.785 |
1.571 |
2.356 |
3.142 |
3.927 |
4.712 |
5.498 |
|
0 |
0.707 |
1 |
0.707 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0.708 |
1 |
0.707 |
8e-4 |
5e-5 |
5e-4 |
3e-4 |
Табл.8.1.3
Из приведенной таблицы видно, что приближенно равно .
Построим графики используя табл.8.1.3, где - это F(k),
а - это f(k) рис.8.1.1:
Рис. 8.1.1
Вывод:
На основе проделанных расчетов можно заключить, что заданная функция представима в виде тригонометрического ряда Фурье, а также интеграла Фурье, полинома Лежандра и дискретных преобразований Фурье. О последнем можно сказать, что спектр (рис.8.1) прямого и обратного преобразований совпадают с рассматриваемой функцией и расчеты проведены правильно.