Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ВЫШКА - Теоретическая часть.doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
8.19 Mб
Скачать

1.8.5. Свойства функций имеющих конечный предел в точке а

Пусть , тогда:

  1. Существует предел алгебраической суммы этих функций, равный алгебраической сумме этих пределов

  1. Существует предел произведения функций  произведение пределов

  1. Если предел знаменателя неравен 0 и B неравно 0 то

Следствие

Из 1 и 2 следует, что константы можно выносить за знак предела

1.8.6. Бесконечно большие функции и их свойства

Определение: Функция называется бесконечно большой в точке а, если ее предел в этой точке равен бесконечности.

Свойства:

Пусть и - бесконечно большие функции в точке а.

Тогда справедливы следующие утверждения:

  1. Произведение двух бесконечно больших функций – бесконечно большая функция.

  1. Произведение бесконечно больших на функцию, имеющую отличный от нуля предел - бесконечно большая.

  1. Функция, обратная величине бесконечно большой – есть бесконечно малая, и наоборот.

Д оказательство 2):

Доказательство 3):

1.8.7. Числовые последовательности

Задача, по которой каждому N числу, ставится в соответствие единственное вещественное число – называется числовой последовательностью.

Числовая последовательность – функция натурального аргумента.

Обозначается:

Последовательность, множество значений которой состоит из одного числа – стационарная.

Так как числовая последовательность – не симметричное множество, то для него не существует понятия четности, нечетности, периодичности. Зато сохраняются свойства, связанные с упорядоченностью.

Свойства:

  1. Ограниченность.

    1. последовательность ограничена сверху, если

    2. последовательность ограничена снизу, если

    3. последовательность ограничена, если

  2. Монотонность.

    1. последовательность возрастает, если

    2. последовательность убывает, если

    3. последовательность не убывает, если

    4. последовательность не возрастает, если

      1. Предел последовательности

Так как натуральные числа имеют одну только бесконечность, то для числовой последовательности существует

Замечания:

  1. А может быть конечным или бесконечным

Если последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся, а если нет – расходящейся.

  1. Общие свойства сходящихся последовательностей аналогичны свойствам функций, имеющих конечный предел.

  2. Арифметические свойства сходящихся последовательностей аналогичны свойствам функций, имеют конечный предел

  3. Переход к пределам в неравенствах, для сходящихся последовательностей аналогичен функциям, имеющим конечный предел.

  4. Определение бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей и их свойства аналогичны соответствующим определениям и свойствам функции непрерывного аргумента.

1.8.9. Критерии существования предела последовательности

1. Критерии Коши (произведения последовательностей)

Для существования предела последовательностей необходимо и достаточно, чтобы для любой..............

Последовательность, для которой выполняется признак Коши – фундаментальная.

2. Критерий Вейерштрасса (монотонность последовательности):

а) неубывающие последовательности, ограниченные сверху, имеют предел

б) не возрастающие последовательности, ограниченные снизу, имеют предел.

Доказательство: