Вероятность обнаружения частицы

По аналогии со светом вероятность обнаружения частицы в момент t в единичном интервале около точки x, или плотность вероятности, равна

. (1.14)

Вероятность обнаружения частицы в интервале dx

. (1.15)

Вероятность найти частицу во всем пространстве равна единице и выполняется условие нормировки

. (1.16)

1. Квантование Бора–Зоммерфельда

В максимуме интерференции волна усиливается и увеличивается вероятность обнаружения частицы, пропорциональная квадрату модуля волны. Условие максимума интерференции для разности хода двух волн от точки их расхождения до точки наложения (1.3)

,

где n – число длин волн, укладывающихся на протяжении , обеспечивает наибольшую вероятность обнаружения частицы. Точки максимума интерференции дают траекторию частицы. Учитывая (1.13)

,

получаем условие обнаружения частицы

.

Результат обобщаем на случай трехмерной замкнутой траектории с элементом , когда импульс изменяется вдоль траектории. Получаем условие квантование Бора–Зоммерфельда

, (1.17)

где

– квантовое число, или номер траектории. Это число показывает сколько раз длина волны де Бройля укладывается на протяжении траектории;

– объем фазового пространства одномерного движения, ограниченный траекторией частицы и занятый n состояниями.

Следовательно, квантовое состояние одномерного движения занимает в фазовом пространстве объем, равный h. На этом результате основана статистическая физика.

Формула (1.17) применима только в квазиклассическом приближении, когда существует траектория частицы, т. е. длина волны гораздо меньше характерного размера траектории r. С учетом (1.13)

,

и (1.17) получаем условие применимости (1.17)

, , . (1.18)

Полуклассическая теория неприменима для системы с характерным размером, сравнимым с длиной волны де Бройля, когда отсутствует понятие траектории частицы.

ПРИМЕР

В одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной a с абсолютно непроницаемыми стенками находится частица массой m. Классическая физика не ограничивает энергию частицы в яме. Получим допустимые значения энергии и импульса частицы, используя квантование Бора–Зоммерфельда.

Частица с полной энергией внутри ямы при имеет импульс

.

Из условия квантования (1.17)

,

где учтено, что импульс р направлен вдоль участка траектории , и эти вектора параллельны оси x. С учетом движения вправо и влево, находим:

,

Получаем дискретный спектр энергии и модуля импульса

,

. (П.1.3)

Чем уже яма и меньше масса частицы, тем выше уровень энергии и больше расстояние между соседними уровнями.

Длина волны де Бройля на уровне n

,

тогда

.

Номер состояния равен числу полуволн, укладывающихся на ширине ямы.

Для основного состояния с минимальной энергией из (П.1.3) получаем

, , . (П.1.4)

Энергия частицы в яме не может быть меньше этого значения.

Для электрона в потенциальной яме макроскопической ширины находим

.

Тепловая энергия kT такой величины достигается при температуре . При нормальной температуре квантование энергии в яме несущественно. Для частицы в макроскопическом объеме квантование энергии поступательного движения несущественно при не слишком низкой температуре. В результате примена классическая физика.

Для микроразмера L = 1 нм получаем , что превышает тепловую энергию при нормальной температуре. Следовательно, для частицы в микроскопическом объеме квантование энергии поступательного движения существенно при любой температуре. Классическая теория не применима для микро и наносистем.