2. Выборочные характеристики статистических распределений

Для описания основных свойств статистических распределений чаще всего используют выборочные характеристики следующих двух видов:

1. средние;

Выборочная средняя:	а) характеризует типичное для выборки значение признака X; б) приближенно характеризует (оценивает) типичное для генеральной совокупности значение признака X (см. п. 3.2);
		– средняя арифметическая; применяется к вариационному ряду (данные наблюдения не сгруппированы);
		– взвешенная средняя арифметическая (частоты mi , и частости wi называют весами); используется, если данные сгруппированы; непосредственно применима только к статистическому распределению дискретного признака (дискретному ряду).
Структурные (порядковые) средние.			Если  = хмo = хме , то распределение симметричное. При нарушении симметрии равенство нарушается (хотя бы одно).
, если n = 2j – четное; хме =  хj+1 , если n = 2j+1 – нечетное.			Медиана – это серединное значение признака X; по определению: .
хмo = xi , если mi = mmax (справедливо только для дискретного ряда).			Мода – наиболее часто встречающееся значение признака X.

2) характеристики вариации (рассеяния).

		– выборочная дисперсия есть выборочная средняя арифметическая квадратов отклонений значений признака X от выборочной средней (равна “среднему квадрату без квадрата средней”):
				– выборочная дисперсия; применяется к вариационному ряду (данные наблюдения не сгруппированы);
				– выборочная взвешенная дисперсия; используется, если данные сгруппированы; непосредственно применима только к статистическому распределению дискретного признака (дискретному ряду);
				– средний квадрат есть выборочная средняя арифметическая квадратов значений признака X (для вариационного ряда и для дискретного распределения соответственно).
	– выборочное среднее квадратическое отклонение есть арифметическое значение корня квадратного из дисперсии; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются значения xj признака X от выборочной средней .
R = хmax – хmin			– размах вариации.
			– коэффициент вариации; применяют для сравнения вариации признаков сильно отличающихся по величине, или имеющих разные единицы измерения (разные наименования).

Замечание. Если исходный вариационный ряд недоступен, приведенные выше формулы вычисления выборочных характеристик, применимые только к дискретному ряду, могут быть использованы для приближенного вычисления выборочных характеристик непрерывного признака, представленного интервальным рядом. Для этого предварительно каждый интервал x_i–1–x_i заменяется его серединой  = (x_i–1+ x_i) / 2, то есть производится замена интервального ряда дискретным, соответствующим ему приближенно.

Пример 5. Найти числовые характеристики распределения предприятий по числу работающих (пример 1).

Решение. Признак Х – число работающих (чел.) на предприятии. Для расчета характеристик данного распределения удобнее использовать таблицу:

Число работающих на предприятии, (хi ,чел.)	Число предприятий (mi)	хi mi	Н(хi)	(хi – )2 mi	хi2 mi
150 250 350 450 550 650 750	1 3 7 30 19 15 5	150 750 2450 13500 10450 9750 3750	0 1 4 11 41 60 75	129600 202800 179200 108000 30400 294000 288000	22500 187500 857500 6045000 5747500 6337500 2812500
Итого	80	40800	-	1232000	22040000 .

510 (чел.) – среднее число работающих на предприятии.

Легко убедиться, что в случае дискретного признака Х в ранжированном вариационном ряду x_j = x_i при Н(х_i) + 1  j  Н(х_i+1). Для рассматриваемого примера: x_j = 450 при 12  j  41.

Объем выборки n = 80 – число четное. Пусть n = 2j , тогда j = 40. Поэтому:

450 (чел.).

Частота достигает максимума: m_i = m_max = 30 при x_i = 450, поэтому:

х_мо = 450 (чел.).

Очевидно х_мo  х_ме  – распределение асимметричное (см. рис. 1).

R = х_max – х_min = 750 – 150 = 600 (чел.).

Дисперсию рассчитываем двумя способами.

1)

2)

= 275500 – (510)² = 15400.

(численность работающих на каждом предприятии отклоняется от средней численности в среднем на 124 чел.)

 24,3 %.

На практике считают, что если   33 % , то совокупность однородная. В данном случае исследуемая совокупность однородная.

Пример 6. Найти числовые характеристики распределения затрат времени на обработку одной детали (пример 2).

Решение. Признак Х – затраты времени на обработку одной детали (мин) – непрерывный. Распределение задано интервальным рядом. Характеристики такого ряда находят по тем же формулам, что и для дискретного ряда, предварительно заменив интервальный ряд дискретным. Для этого каждый интервал x_i–1–x_i заменяется его серединой . Расчеты представим в таблице:

Затраты времени на обработку 1 детали (Х, мин): xi–1–xi	Число рабочих (mi)		mi	Н( )		( )2 mi
22–24 24–26 26–28 28–30 30–32 32–34	2 12 34 40 10 2	23 25 27 29 31 33	46 300 918 1160 310 66	0 2 14 48 88 98	50 108 34 40 90 50	1058 7500 24786 33640 9610 2178
Итого	100	-	2800	-	372	78772 .

28 (мин) – среднее время на обработку одной детали.

Легко убедиться, что в случае дискретного признака Х в ранжированном вариационном ряду x_j = при Н( ) + 1  j  Н( ). Для рассматриваемого примера: x_j = 29 при 49  j  88.

Объем выборки n = 100 – число четное. Пусть n = 2j , тогда j = 50. Поэтому:

29 (мин).

Частота достигает максимума: m_i = m_max = 40 при x_i = 29, поэтому:

х_мо = 29 (мин).

Очевидно х_мo  х_ме  – распределение асимметричное (см. рис. 2).

R = х_max – х_min = 34 – 22 = 12 (мин).

Дисперсию рассчитываем двумя способами.

1) ;

2) ;

= 787,72 – (28)² = 3,72.

  1,93 (мин), то есть затраты времени на обработку одной детали каждым рабочим отклоняются от средних затрат времени в среднем на 1,93 мин.

– совокупность однородная.