22)Екі еселі интеграл, ж/не оның қасиеттері.

Екі еселі интегралдың анықтамасы

 ХОУ жазықтығында квадратталатын тұйық облыста функциясы берілген. облысын облыстарының ортақ ішкі нүктелері болмайтындай кез келген n бөліктерге бөлейік. Әрбір тұйық облысында (ішінде немесе шекарасында) кез келген нүктесін таңдаймыз да осы нүктедегі функциясының мәнін ауданына көбейтеміз. Осындай барлық көбейткіштерді қосып, келесі қосындыны аламыз:

(1)

бұл функциясының облысындағы интегралдық қосындысы деп аталады. Интегралдық қосынды облысын бөліктерге бөлуден және осы бөліктерде нүктелерін таңдап алудан тәуелді, яғни облысындағы функциясы үшін шексіз көп интегралдық қосындылардың жиынын құруға болады.

Егер облысының бөлу қадамы нөлге ұмтылғанда (1) интегралдық қосындының шегі бар болса, онда бұл шекті функциясының облысы бойынша екі еселі интегралы деп атайды және

немесе .

символдарымен белгілейді. Мұндағы - интеграл астындағы функция, - интегралдау облысы, x және y – интегралдау айнымалылары, (dxdy) - аудан элементі. Осыдан, анықтама бойынша

егер бұл шек бар болса.

екі еселі интегралы бар функциясы облысында интегралданады деп аталады.

Екі еселі интегралдың қасиеттері облысында интегралданатын функция тұйық облысында шектелген болуы керек, өйткені кері жағдайда нүктелерін таңдауда интегралдық қосындыны абсолют шамасы бойынша өте үлкен етіп алуға болады, яғни нөлге ұмтылғанда интегралдық қосындының шегі болмас еді.Екі еселі интегралдың бар болуының жеткілікті шарттарын қарастырайық.

Теорема 1. Егер функциясы тұйық облысында үзіліссіз болса, онда екі еселі интеграл бар болады.

Бұл теореманың дәлелдеуін анықталған интегралдың сәйкес теоремасына сай дәлелдеуге болады.

Теорема 2. Егер функциясы тұйық облыста шектелген және үзіліссіз болса, онда екі еселі интеграл бар болады. Төмендегі функциялар (1 немесе 2) теореманың шарттарын қанағаттандырады деп ұйғарып, екі еселі интегралдың негізгі қасиеттерін келтірейік. Бұл қасиеттердің дәлелдеуін анықталған интегралдың қасиеттеріне сай дәлелдеуге болады.

1. екі еселі интегралы интегралдау айнымалысын белгілеуден тәуелді емес.

2. k тұрақты көбейткішті екі еселі интеграл таңбасы алдына шығаруға болады:

3. Екі функцияның қосындысының екі еселі интегралы осы функциялардың екі еселі интегралдарының қосындысына тең:

4. Егер облысы және облыстарына бөлінсе, онда

5. Егер барлық облысында онда

6. Егер барлық облысында онда

7. Егер функциясы облысында берілсе, онда 8.

23) Екі еселі интегралды декарттық есептеу, айнымалыны алмастыру, Екі еселі интегралды полярлық жүйеде есептеу Якобиан және оның геометриялық мағынасы. Енді қисық сызықты облыс бойынша екі еселі интегралды есептеуге көшелік. Мұнда да интегралды есептеу қайталама интегралды есептеуге келетінін көрсетелік.

Теорема 2. Erep G облысы үзіліссіз у=у₁(х), у=у₂(х) қисықтары, вертикаль х=а және х=b(2 сурет) кесінділерімен шектелген болып, f(x,y) функциясының G облысында екі еселі интегралы