Сурет 1

бар және сонымен бірге х-тің [a, b] кесіндісіндегі тағайындалған мәнінде интеграл

бар болса, қайталама

интегралы, бар болады және теңдік

1. қисығы және түзулер мен шенелген (шектелген) (R) облысына таралған екі еселі интегралды есептеу формуласын табу керек.

Шешу. Интегралдау облысы – қисық сызықты ОАВ үшбұрышы (18-сурет). Берілген облыста айнымалы

х 0-ден 2-ге дейін, ал айнымалы у 0-ден 1-ге дейін ( параболасы мен түзуінің қиылысқан нүктесі А-ның ординатасы). Егер тұрақты интегралдау шектері үшін х-тің өзгерісін алсақ, интегралдаудың айнымалы у(х) шектері [0,2] кесіндісінің әр бөлігінде әр түрлі болады. егер айнымалы х 0-ден 1-ге дейін өзгерсе, айнымалы уОх осінде жатқан (у=0) нүктенің ординатасының мәнінен параболасында жатқан нүкьенің ординатасының мәніне дейін өзгереді. Ал егер х айнымалысы 1-ден 2-ге дейін өзгерсе, у айнымалысы Ох осінде жатқан (у=0) нүктенің ординатасының мәнінен түзуінде жатқан нүктенің ординатасының мәніне дейін, яғни -ке дейін өзгереді.

Бұл жағдайда түзуі интегралдау облысыны екі облысқа бөледі (19-сурет), демек, бұл жағдайда екі еселі интеграл екі қайталама интегралдың қосындысына тең болады, яғни

.

Егер интегралдаудың тұрақты шектері етіп у-тің өзгерістерін алсақ, айнымалы у шектер 0 мен 1-дің арасында қалай өзгерсе де айнымалы х парабола та жатқан нүктенің абсциссасынан , немесе түзуіндегі нүктенің абсциссасына дейін ғана өзгереді. Бұл жағдайда екі еселі интеграл бір ғана қайталама интегралға тең, яғни (20-сурет):

.

Полярлық координаталар

Сурет 8

Жазықтықтағы қисық сызықты координаталар жүйелерінің ішінде жиі қолданылатыны полярлық координаталар. Бұлардың декарттық координаталар х және у-пен байланысы

арақатынастарымен аныкталады

Сурет 9

Полярлық координаталар жүйесіндегі координаталық сызықтар: центрі бас нүктедегі (r = const) концентрлі шеңберлер мен сол центрден шығатын сәулелер (φ = const, 8-сурет).

Полярлық координаталардағы r≥0, 0≤φ≤2π жарты алапты (8) түрлендірме декарттық жүйедегі ХОУ жазықтығына аударады. Бұл (8) түрлендірме өзара бір мәнді және r = 0 не φ = 0 болатын нүктелерден басқа нүктелерде үзіліссіз. (8) түрлендірменің якобианын табалық.

сонымен бірге х= 0 және у = 0-ден басқа нүктелерде

1. Интегралдау облысы (D) шеңберлер , түзулерімен шенелген (шектелген).

Екі еселі интегралында полярлық координаталарға көшу керек (28-сурет).

Шешу. Полярлық координаталарға формулалары бойынша көшсек, берілген интегралдау облысын шенейтін (шектейтін) сызықтардың жаңа теңдеулері шығады:

онан

онан

онан

онан 2.

Ох осінің оң бағытын полярлық ось деп есептесек, түзуі полярлық осьпен 45° (немесе ) бұрышы, ал түзуі полярлық осьпен бұрышын жасайтынын көреміз. Полюстен шығатын сәулелер облыс шенін (шекарасын) қиып өтіп, шеңбері арқылы облыстың ішіне енеді, ал шеңбері арқылы облыстың сыртына шығады. Демек, екі еселі интеграл астындағы айнымалыларды ауыстырып және -ны ескерсек,

.

UOV және XOY декарттық жүйе координатасында екі жазықтық берілсін. Сәйкесінше UOV және XOY жазықтықтарында жатқан екі және облыстарын қарастырайық, және

(1)

функциялары осы облыстағы нүктелер арасында өзара бірмәнді сәйкестікті орнатады. Яғни облысындағы әрбір (u₀, v₀) нүктеге облысындағы тек бір (x₀,y₀) нүкте сәйкес қойылады, мұндағы .

және функциялары облысында бірінші ретті дербес туындыларымен қоса үзіліссіз болсын. Онда

анықтауышы облысында анықталған u және v айнымалыларынан тәуелді үзіліссіз функция болады. Бұл функционалдық анықтауыш Якоби анықтауышы немесе (1) бейнелеуінің якобианы деп аталады да немесе символымен белгіленеді.

Екі еселі интегралда айнымалыны ауыстыру формуласы.

тұйық облысында үзіліссіз функциясының

(2)

екі еселі интегралын қарастырайық.

(3)

формулалары UOV жазықтығындағы тұйық облысын XOY жазықтығындағы тұйық облысына өзара бірмәнді бейнелейді деп ұйғарайық, және бұл бейнелеу жоғарыда айтылған барлық шарттарды қанағаттандырады.

(2) x және y айнымалыларынан тәуелді ( облысы бойынша) екі еселі интеграл u және v айнымалыларынан тәуелді ( облысы бойынша) екі еселі интегралына тең екендігін көрсетейік. Бұл үшін облысын жазық қисықтар көмегімен n облыстарға бөлейік. Олар облысын n облыстарға бөледі. және сәйкес облыстардың аудандары облысындағы нүктесімен және якобиан бейнелеуімен байланысты. (сурет 3.11.1.). арқылы нүктесінің бейнелеуі облысында жатқан нүктені белгілейміз:

облысын облыстарға бөлу және осы облыстардан нүктелерін таңдау үшін екі еселі интегралдың интегралдық қосындысын құрамыз:

(4)

Рис. 3.11.1

Бұл теңдіктің оң жағы облысы бойынша екі еселі интеграл үшін үзіліссіз функциядан тәуелді интегралдық қосынды тұр. облысы бойынша бөлу қадамы нөлге ұмтылғанда облысы бойынша бөлу қадамы да нөлге ұмтылады. (3) теңдігінде шекке көшіп:

теңдігін аламыз. Бұл формула екі еселі интегралда айнымалыны ауыстыру формуласы деп аталады.

Екі еселі интегралды есептеу анықталған интегралды есептеуге келтіріледі.

Теорема 1. Егер функциясы x=a, y=b (a<b), и - [a,b] кесіндісінде үзіліссіз функциялар, және осы кесіндіде ) сызықтарымен шектелген тұйық облысында үзіліссіз болса, онда

(1)

екі еселі интегралды есептеуге мүмкіндік беретін теңдік орындалады.

(1) теңдігінің оң жағындағы қайталанбалы интегралы келесі түрде жазылады:

Теорема 2. Егер функциясы y=c, y=d (c<d), және - [c,d] кесіндісінде үзіліссіз және сызықтармен шектелген тұйық облысында үзіліссіз болса, онда

(2)

екі еселі интегралды есептеуге мүмкіндік беретін теңдік орындалады.

сурет 3.8.1

Екі еселі интегралды қайталанбалы интеграл арқылы (2) формуласы бойынша бірінші ішкі интеграл есептеледі, мұнда у тұрақты, өзгеру шектері у-тен тәуелді ( облысы үшін). Содан кейін у-тен тәуелді функция аралығында у бойынша интегралданады. Мысалы: интегралын сызықтарымен шектелген облысы бойынша есепте.

2 теоремасының шарттары орындалып тұрғандықтан, (2) формуласын қолданамыз:

.

сурет 3.8.2

Егер функциясы тұйық облысында үзіліссіз, 1 және 2 теореманың шарттарын бір уақытта қанағаттандырса, онда екі еселі интегралын есептеуде интегралдау ретінің кез келгенін алуға болады (сыртқы интеграл x бойынша, ішкі интеграл y бойынша немесе керісінше). Мысалы, егер облыс шекарасының ОХ осіне параллель әрбір түзуі және Оу осіне параллель әрбір түзуі тек екі нүктеде қиылысса (3.8.2. суреті), онда (1) және (2) формулаларын да қолдануға болады, яғни

Егер облысы - x=a, x=b, y=c және y=d түзулерімен шектелген тік төртбұрыш, ал f(x,y) – тік төртбұрышында үзіліссіз болса, онда (1) және (2) формулаларын қолданып,

аламыз.

Мысалы, егер - тік төртбұрыш болса, онда