15) Таңбалары тұрақты сандық қатардың жинақтылығының жеткілікті шарты,Даламбер, салыстыру,т.Б. Қатарларды салыстыру белгілері.

1-теорема (жинақтылықтың жеткілікті белгісі) және оң таңбалы қатарлары берілген дейік. Айталық бірінші қатардың мүшелері екінші қатардың сәйкес мүшелерінен артық болмасын: (2,1) Және (В) қатары жинақты болсын. Сонда (А) қатары да жинақты және оның қосындысын (В) қатарының қосындысынан арпайды.

Дәлелдеу. (А) және (В) қатарларының дербес қосындыларын сәйкес және деп белгілеййік:

(2,1) теңсіздіктерінен болатыны шығады. Ал (В) қатары жинақты болғандықтан шегі бар. Сонымен бірге оң таңбалы қатар болғандықтан теңсіздігі орындалады. Шарт бойынша Сонда теңсіздігі де дұрыс болады. Сонымен, (А) қатарының дербес қосындылары шектелген, сондықтан ол жинақты және оның қосындысы (В) қатарынын қосындысынан артық емес екен.

2-теорема. Айталық (А) және (В) қатарлары берілсін. Сонымен бірге және (В) қатары жинақсыз болсын. Сонда (А) қатары да жинақсыз болады.

Дәлелдеуі. (А) және (В) қатарларының дербес қосындыларын сәйкес және деп белгілейік:

Ал (В) қатары жинақсыз болғандықтан, оның дербес қосындылары артады, сондықтан . Бұл жағдайда, болғандықтан болады. Демек, (А) қатары да жинақсыз. Салыстыру белгісімен қатарларды зерттеу барысында салыстыру үшін жинақты, не жинақсыз болатыны белгілі қатардың болуы қажет.

1-мысал. (2,5)қатарын зерттейік.

Шешуі. Көмекші қатарды қарастырайық:

(2,6)

Бұл еселігі болатын кемімелі геометриялық прогрессия. Сондықтан, ол жинақты. Ал (2,5) қатарының мүшелері (2,6) қатарының сәйкес мүшелерінен артпайды. Демек, 1-теоремаға сәйкес (2,5) қатарды да жинақты екен.

1-салдар. Егер (А) және (В) қатарлары үшін болса, онда (В) қатарының жинақтылығынан (А) қатарының да жинақтылығы шығады.

2-салдар. Егер (А) және (В) қатарлары үшін болса, онда (В) қатарының жинақсыздығынан (А)-ның жинақсыздығы шығады

3-салдар. Егер

Даламбер белгісі. Егер оңтаңбалы (2,9) қатарының мүшесінің -мүшесіне қатынасы -дағы шегі, яғни (2,10) шегі бар болса, онда болғанда қатар жинақты, ал болғанда жинақсыз болады.

Дәлелдеу. а) Айталық болсын. Қатардың жинақты болатынын көрсетейік. Шынында болғандықтан, шектің анықтамасына сәйкес кез келген саны үшін нөмірін болғанда қатардың барлық мүшелері теңсіздігі орындалатындай етіп таңдап алуға болады. Бұдан, немесе болатынын шығады. Ал десек, теңсіздігін аламыз. Теорема шарты бойынша және жеткілікті аз оң сан болғандықтан, оны теңсіздігі орындалатындай етіп таңдап алу мүмкін болады. Сонымен, болғанда немесе

теңсіздіктері орындалады екен.

Енді (2,11)

(2,12)

қатарларын қарастырайық. (2,12) қатары жинақты. Өйткені ол кемімелі геометиялық прогрессия. Ал (2,11) қатардың мүшелері (2,12) қатардың сәйкес мүшелерінен артпайды. Сондықтан, салыстыру белгілер бойынша (2,11) қатары да жинақты.

Бірақ (2,11) қатар (2,9) қатардың саны шекті мүшелері қосындысын шығарып тастаған. Демек, (2,9) қатары да жинақты екен.

ә) Айталық болсын. Қатардың жинақсыз болатынын көрсетейік. Шынында, бұл жағдайда, болғандықтан,жеткілікті үлкен нөмірден бастап немесе теңсіздігі орындалады. Сонымен, нөмірлі мүшесінен бастап, қатардың мүшелері артады. Сондықтан яғни жинақты қажетті шарты бұзылады. Демек, қатар жинақсыз болады екен.

1-ескерту. Егер болса, онда қатар жинақсыз болады. өйткені, бұл жағдайда жеткілікті үлкен үшін , сондықтан болады.

2-ескерту. Егер Даламбер белгісімен қатардың жинақсыз болатыны дәлелденсе, онда оның -мүшесі нолге ұмтылмайды.

3-ескерту. болғанда, Даламбер белгісі қатардың жинақты, не жинақсыз болатынына жауап бере алмайды. Бұл жағдайда, қатар жинақты болуы немесе жинақсыз болуы мүмкін. Даламбер белгісін қолданып, қатарлардың жинақты болатынына анықтауға бірнеше мысалдар қарастырайық.

Коши белгісі. Егер оңтаңбалы қатары үшн шегі бар болса, онда қатар болғанда жинақты, ал болғанда жинақсыз болады.

Дәлелдеуі: а) Айталық болсын. теңсіздіктерін қағаттандыратын, әйтеуір бір санын алайық. Сонда болғандықтан, нөмірден немесе теңсіздігі орындалады. Бұдан болатыны оңай көрінеді. Ал . болғандықтан, + геометриялық қатары жинақты болады. Соңғы қатардың мүшелері берілген қатарының сәйкес мүшелерінен кем болмайды. Сондықтан, ол қатар жинақты. ә) Айталық болсын. Сонда Демек, белгілі бір нөмірден бастап теңсіздігі орындалады. Бұдан . Сондықтан, қатардың -мүшесі -да нөлге ұмтылмайды. Олай болса, қатар жинақсыз болады. Белгі дәлелденді.

1.Салыстру белгісі.Бізге және сандық қатарлары берілсін. орындалғанда, тізбегінің жинақталуы жинақталуына әкеледі ал тізбегінің жинақталмауы де жинақталмауына әкеледі Мысалы: және берілсін. болады. = жинақсыз тібек, сол себепті = жинақсыз болады.

Теорема: Егер =A 0 болса мен бір мезгілде жинақты(жинақсыз).

Мысалы: , жинақсыз, яғни екі тізбек те жинақсыз.

2. Даламбер белгісі. Бізге берілсін. =q болсын.

1) q<1 тізбек жинақталады.

2) q>1 тізбек жинақталмайды.

3)q=1 болғанда белгісіз және оған қосымша зерттеу керек.

Мысалы: . =5>1 яғни жинақталмайды.

3. Коши белгісі. берілсін. =q болсын.

1) q<1 тізбек жинақталады.

2) q>1 тізбек жинақталмайды.

3)q=1 болғанда белгісіз және оған қосымша зерттеу керек.

Мысалы: . Коши белгісін қолдансақ, = . Онда = = <1, яғни жинақталған.

16)Кошидың интегралдық белгісі. Айталық яғни мүшелері аралығында үздіксіз, оң және кемімелі кейбір функциясының мәндері болатын қатары берілсін. Сонда

а) егер жинақты болса, онда қатары да жинақты болады,

ә) егер жинақсыз болса, онда қатары да жинақсыз болады.

Дәлелдеу. Жоғарыда жағынан функциясы графигімен, бүйір жақтары түзулерімен, ал төменгі жағы осімен шектелген қисықсызықты трапецияны қарастырайық. Бұл трапецияға табандары ал биктіктері болатын тіктөртбұрыштарды іштей және сырттай салсақ. басқышты екі фигура аламыз. Сонда анықталған интегралдық геометриялық мағынасын еске алсақ

теңсіздіктерін аламыз, немесе болады. Бұдан (2,13) (2,14) болатыны оңай көрінеді. Мұндағы -қарастырып отырған қатардың дербес қосындысы.

жалпылама гармоникалық қатарды : (2,3) Бұл қатардың болғанда жинақты, ал болғанда жинақсыз болады. Осы айтылғанды интегралдық белгі жәрдемімен дәлелдейік. Қатардың мүшелері оң, біркелкі кемімелі функциясының нүктелердегі мәндеріне тең. Енді меншіксіз интегралын қарастырайық. Сонда Демек, меншіксіз интегралы болғанда жинақты, ал болғанда жинақсыз болады екен. Сондықтан, (2,3) қатары болғанда жинақты, ал болғанда жинақсыз.жалпылама гармоникалық қатар жиі қолданылады.

1-мысал. (2,5) қатарын зерттейік.

Шешуі. Көмекші қатарды қарастырайық: (2,6) Бұл еселігі болатын кемімелі геометриялық прогрессия. Сондықтан, ол жинақты. Ал (2,5) қатарының мүшелері (2,6) қатарының сәйкес мүшелерінен артпайды. Демек, 1-теоремаға сәйкес (2,5) қатарды да жинақты екен.

17)Таңбалары кезекпен ауыспалы сандық қатар, Лейбниц белгісі. ауыспалы таңбалы қатар былай жазылады: (3,1)

(мұнда ) Ауыспалы таңбалы қатардың жинақты болуының мынадай жеткілікті шартын келтірейік:

Лейбниц белгісі. Егер (3,1) ауыспалы таңбалы қатар мүшелерінің абсалют шамалары кеитін, яғни және болса, онда қатар жинақты болады. Дәлелелдеy: Айталық (3,1) қатары берілсін. Сонымен бірге және -да болсын.

Мүшелерінің саны жұп болатын дербес қосындыларды қарастырайық:

Жақшадағы айырымдардың барлығы да теореманың шартына сәйкес нөлден үлкен. Сондықтан, дербес қосындылардың тізбегі үдемелі тізбек. Сонымен, ол тізбек шектелген. Осыны дәлелдейік. Ол үшін -ді былайша жазайық: Бұдан, квадрат жақша ішіндегі қосынды оң сан және -де оң сан болғандықтан, кез келген үшін яғни тізбегі шектелген болады. Демек, үдемелі және шектелген тізбек болғандықтан, оның шегі бар болады: Енді қатар мүшелерінің саны тақ болғанда да, дербес қосындылар тізбегінің шегі бар және ол шек -ке тең болатынын дәлелдейік. Шынында, теңдгінен да шекке көшсек және шартын ескерсек: Сонымен, (3,1) қатарының дербес қосындылары тізбегі жинақты және ол -ке тең Олай болса, (3,1) қатары жинақты болады.

Мысал. қатарын зерттейік.

Шешуі. Бұл қатар Лейбниц белгісінің шарттарын қанағаттандырады. 1) .

2) Сондықтан, қатар жинақты.