1)Анықталған интеграл және оның қасиеттері. сегментінде анықталған функциясы берілсін. Осы сегментті қалауымызша алынған нүктелерімен бөлікке бөліп, әр бөлік сегменттен кез келген нүктесін алып, Риман қосындысы немесе интегралдық қосынды деп аталатын мынадай қосынды жасайық: . (3) Бұл қосындының мәні, жалпы алғанда, сегментін бөлу тәсілінен де, нүктелеріне де тәуелді. Бөлік сегменттердің ұзындықтарының ең үлкенін , яғни деп белгілейік.

Анықтама. Егер интегралдық қосынды -ның нөлге ұмтылғанда (барлық бөлік сегменттердің ұзындықтары нөлге ұмтылғанда) сегментін бөлу тәсілінен тәуелсіз және әр бөлік сегменттен нүктесін таңдап алудан тәуелсіз шекті (тиянақты) шегі бар болса, осы шекті функциясының -дан -ға дейінгі немесе сегментіндегі анықталған интегралы деп,атайды да оны деп белгілейді. . (4) Мұндағы - интеграл астындағы функция, - интеграл астындағы өрнек, саны –интегралдың төменгі, саны – интегралдың жоғарғы шегі, ал айнымалысы – интегралдау айнымалысы деп аталады. Берілген анықтамадан жоғарғы, төменгі шектер тұрақты сандар болса, анықталған интеграл тұрақты санға тең болатынын байқаймыз, себебі ол айнымалы қосындының шегі.

Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері.

1⁰.Тұрақты санды анықталған интеграл белгісінің алдына шығаруға болады: , мұнда . анықталған интегралдың анықтамасы бойынша

2⁰.Бірнеше функциялар қосындысының анықталған интегралы қосылғыштарының анықталған интегралдарының қосындысына тең,яғни

.Осы екі қасиет интегралдың сызықтық қасиеті д.а.

3⁰.Егер аралығын және аралықтарына бөлсек, онда Бұл аддитивтілік қасиет д.а..

4⁰.Егер интегралдың жоғарғы шегі мен төменгі шегінің орындарын ауыстырсақ, онда оның таңбасы өзгереді: .

5⁰.Жоғарғы шегі мен төменгі шегі тең болатын интеграл 0-ге тең: .

6⁰.Егер аралығындағы айнымалысының барлық мәндері үшін болса, онда .

7⁰.Егер аралығындағы айнымалысының барлық мәндері үшін болса, онда . - теңсіздікті мүшелеп интегралдауға болады.

8⁰.Егер аралығындағы функциясының ең үлкен және ең кіші мәндері сәйкес мен сандары болса, онда . қос теңсіздігін кесіндісінде интегралдап 7-қасиетті пайдалансақ: немесе .9⁰.Анықталған интегралдың орта мәні туралы теорема. Егер функциясы сегментінде интегралданса және үшін теңсіздіктері орындалса, оның интегралы ( 6 ) теңдігін қанағаттандырады,мұндағы теңсіздігін қанағаттандыратын тұрақты сан.

2)Риман интегралын есептеу әдістері.Ньютон-Лейбниц формуласы.

Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру

Теорема 4. функциясы аралығында үзіліссіз, ал функциясы аралығында бірсарынды және үзіліссіз дифференциалданатын болсын, мұндағы , , онда

. Мысал5. интегралын есептелік, ол үшін белгілеуін енгіземіз: .

Бұл интеграл центрі координат басында, бірінші квадрантта жататын радиусы бірге тең дөңгелектің ауданының төрттен бір бөлігіне тең.

Анықталған интегралды бөліктеп интегралдау әдісі. Теорема. функиялары және олардың туындылары кесіндісінде үздіксіз функциялар болса, мына формула орындалады (3) Дәлелдемесі. Берілген шарттар орындалғанда болатыны белгілі. Осыдан, теңдіктің екі жағын да аралығында интегралдасақ, онда (4) болады. Әрі қарай Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша былай жазамыз: . Сонда (4) теңдік былай жазылады . Ал бұдан (3) формула шығады. Бұл теңдік анықталған интегралды бөліктеп интегралдау формуласы делінеді. Осы формуланы қолданып, анықталған интегралды есептеуді бөліктеп интегралдау әдісі дейміз. Мысал. интегралын есептеп шығару керек. Шешу: Мұнда: деп жорысақ, болады. Сонда .

Лейбниц-Ньютон формуласы. функциясы кесіндісінде интегралданатын болсын және . үшін жаңа функциясын былай анықтайық: .

Бұл жерде, жоғарғы шегі айнымалысы болатын функциясының интегралы арқылы өрнектеледі.

Теорема 2. Егер функциясы аралығында үзіліссіз болса, онда функциясы функциясының аралығындағы алғашқы функциясы деп аталады,яғни, бұл аралықта .

Теорема. Егер функциясы аралығына функциясының алғашқы функциясы болса, онда . (1) Бұл теңдік Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады.

Дәлелдемесі. функциясы -да функциясының алғашқы функцияларының бірі болсын. Жоғарыда айтылған бойынша кесіндісінде функциясының алғашқы функциясы болып табылатын мына функция болады. пен бір ғана функциясының алғашқы функциялары болғандықтан, яғни . Бұдан болғанда теңдігі орындалады. Олай болса . Енді деп алсақ, онда (1) формулаға келеміз.

Ньютон-Лейбниц формуласы анықталған интеграл мен алғашқы функцияның (анықталмаған интегралдың) байланысын көрсетеді. Сондықтан анықталған интегралдауды есептеуді анықталмаған интегралдарды есептеуге келтіреді, яғни бірінші теңдеуде қарастырылған анықталмаған интегралдарды есептеп шығару формулаларын пайдалануға мүмкіндік береді. Бұл формула интегралдық есептеудің негізгі формуласы деп те аталады. Ньютон-Лейбниц формуласын есептеуге ыңғайлы болу үшін, оның оң жағын символымен белгілейміз, яғни . Сонда, (1) формуласы мына түрде жазылады. Ескертпе.Интегралды Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша есептегенде ол формуланың қолданылуының заңдылығына әдейі көңіл бөлу керек. Бұл формуланы қолдану үшін аралығындағы үздіксіз функция -тің интегралын есептеу үшін оның алғашқы функциясы жабық кесінді -ның бүкіл бойында теңдігін қанағаттандыру тиіс екендігі шешуші шарт екенін есте сақтау керек. Бұл талаптан функциясының кесінді бойында үздіксіз болатындығы туралы тұжырым шығады. Мысал 4. тап. ► ◄