Розділ 4. Задачі неопуклої стохастичної оптимізації.

У цьому розділі обговорюється загальна методологiя прийняття рiшень за умов стохастичної невизначеностi за допомогою так званих функцiй ризику, функцiй сподiваної корисностi та нечiтких цiльових функцiй, а також наведені приклади неопуклих задач оптимізації систем з дискретними подіями, задач стохастичної дискретної та стохастичної глобальної оптимізації.

Пiд функцiєю ризику F(x), що залежить вiд параметрiв x, мається на увазi будь-який функцiонал вiд розподiлу випадкових "збиткiв-виграшу" f(x,), що вiдповiдає тому або iншому вибору параметрiв x та реалiзацiї випадкових параметрiв . За допомогою функцiй ризику здiйснюється вибiр рацiональних рiшень за умов стохастичної невизначеностi. Під функцiєю сподiваної корисностi маються на увазi функцiї вигляду F(x)=Eu(f(x,)), де функцiя u(·) виражає кориснiсть (для особи, що приймає рiшення) тих або iнших значень f(·,·). Ясно, що кориснiсть u(f(x,)) може бути неопуклою по x, навiть якщо функцiя f(x,) опукла по x. Якщо u(·)= c(·), де c(t)=0 для t<0 та 1 для t ≥? 0, вiдповiдна функцiя сподiваної корисностi спiвпадає з функцiєю ймовiрностi. Коли u(t)=max(0,t) вiдповiдна функцiя корисностi є функцiя ризику вигляду F(x)=Ef(x)c(f(x,)). Очевидно, функцiя ймовiрностi може бути негладкою i навiть розривною. Властивостi функцiї ймовiрностi та iнших функцiй сподiваної корисностi (неперервнiсть, узагальнена диференцiйовнiсть, квазiувiгнутiсть).

На практицi задача прийняття рiшень або оптимiзацiї функцiонування деякої стохастичної системи зводиться до оптимiзацiї тих або iнших функцiй ризику або їх комбiнацiй за обмежень. Функцiї ризику можуть бути неопуклими, негладкими i навiть розривними та можуть залежати вiд неперервних та дискретних параметрiв.

Якщо параметр x приймає дискретнi значення, то задача вибору, скажiмо, мiнiмального математичного сподiвання F(x)= Ef(x,) на основi реалiзацiй f(x,) є класичною задачею математичної статистики. Вiдмiннiсть задачi стохастичної дискретної оптимiзацiї полягає в тому, що число можливих розв'язкiв x може бути астрономiчно великим.

Для розв'язання подібних задач необхiдний механiзм скорочення перебору можливих значень x. Такий механiзм надається стохастичним методом гілок.

Щоб застосувати цей метод до задач стохастичної дискретної оптимізації треба побудовати оптимізаці оптимізації оптимі оптимальних значень для оптимізаціїх класiв задач стохастичної оптимізації.

4.1. Стохастичнi методи згладжування.

У підрозділі розвивається пiдхiд до оптимiзацiї, власне кажучи, розривних функцiй ризику шляхом апроксимацiї їх гладкими усередненими функцiями. Ідея підходу полягає в апроксимації вихідної задачі сукупністю неопуклих задач стохастичного програмування і застосуванні до останніх всього арсеналу прийомів, напрацьованих у стохастичному програмуванні (методика обчислення стохастичних градієнтів без обчислення багатовимірних інтегралів, техніка неопуклого стохастичного другого методу Ляпунова для доведення збіжности майже напевне стохастичних алгоритмів оптимізації, методика прискорення збіжності стохастичних методів, методика нестаціонарної стохастичної оптимізації).

Крім того, усередненi функцiї використовуються для побудови cубдиференцiалiв розривних функцiй. Установленi необхiднi умови оптимальностi в термiнах так званих згладжених субдиференцiалiв розривних функцiй. Доведена збiжнiсть апроксимацiйної схеми, тобто збiж-нiсть мiнiмумiв наближених задач до мiнiмумiв початкової. Доведена збiжнiсть майже напевне стохастичних кiнцево-рiзницевих процедур оптимiзацiї розривних функцiй. Другий підхід до оптимізації розривних функцій, побудований на базі локальної апроксимації розривної функції лінійними функціями. У негладкому аналiзi вводяться та вивчаються рiзнi класи неди-ференцiйовних функцiй. Те ж саме треба проробити i для розривних функцiй. Ми обмежуємо ймовiрну розривнiсть функцiй випадком так званих сильно напiвнеперервних знизу функцiй.

Означення 1. Функцiя F : Rn R1 називається сильно напiв-неперервною знизу в точцi x, якщо вона напiвнеперервна знизу в x та iснує послiдовнiсть xk x, така, що F - неперервна в xk (для усiх k) та F(xk) F(x). Функцiя F називається сильно напiвнеперервною знизу (сильно ннз) на X Rn, якщо це має мiсце для всiх x X. Також вводяться класи неперервних за напрямками та кусково-неперервних функцiй. Властивостi сильної напiвнеперервностi знизу, неперервностi за напрямками, кускової неперервностi зберiгаються при неперервних перетвореннях. Усередненi функцiї f , R1

визначаються шляхом конволюцiї даної функцiї f з деяким сiмейством ядер (mollifiers) , >0, таких що,

lim +0 ||z|| (z)dz = 1 > 0.

Наприклад, нехай () буде гаусiвською щiльнiстю ймовiрностi, (x)=(x/), > 0. Для обмеженої локально інтегровної функцiї f(x) розглянемо наступне сiмейство усереднених функцiй:

f (x)=(1/ n) f(y)((x-y)/)dy, > 0.

Тодi кожна функцiя f є аналiтичною з градiєнтом

f(x)=E(1/)[f(x+)f(x)]= E(1/2)[f(x+)f(x)], (5)

де випадкова величина має стандартний нормальний розподiл, E - математичне сподiвання по .

Якщо функцiя f не є неперервною, то ми не можемо очiкувати, що усередненi функцiї f(x) збiгаються до f рiвномiрно. Але для цiлей оптимiзацiї це i не потрiбно. Потрiбна така збiжнiсть усереднених функцiй до f, яка тягне за собою збiжнiсть мiнiмумiв f(x) до мiнiмумiв f. Це гарантується так званою епiзбiжнiстю функцiй.

Теорема 1.Для обмеженої сильно напiвнеперервної локально iнтегровної функцiї f: RnR будь-яка асоцiйована послiдовнiсть усеред-нених функцiй f k := f(k) , (k) R+ епi-збiгається до f, коли q(k) 0. У усередненi функцiї використовуються для побудови узагальнених похiдних та субдиференцiалiв розривних функцiй, якi використовуються для формулювання необхiдних умов екстремуму.

Теорема 2.Справедливе включення

conv f(x) G(x):= gRn| g,u f'(x;u) uR n ,

де conv означає опуклу оболонку. Якщо множина G(x) обмежена, то conv f(x) = G(x).

Так необхiднi умови екстремуму для задачi мiнiмiзацiї без обмежень розривної функцiї f(x) у термінах згладженого субдиференціала мають стандартний вигляд: 0 f(x). Але при оптимiзацiї за обмежень загальних неперервних та розривних функцiй ми стикаємося з проблемою сингулярних градієнтів. Розглянемо задачу: minx1/3|x0. За будь-якого розумного означення узагальнених градiєнтiв градiєнт функцiї x1/3 в точцi x=0 дорiвнює +, тобто регулярна складова градієнта порожня, а сингулярна дорiвнює +.

Отже, для того, щоб сформулювати необхiднi умови оптимальностi для таких задач та задач, якi включають розривностi, потрiбна мова, що мiстить нескiнченнi величини.

ВИСНОВКИ

1. У курсовій роботі розглянуто велику кількість прикладних задач неопуклого стохастичного програмування з негладкими, розривними або дискретними функціями, для яких немає адекватних методів розв'язання.

2. Досліджено властивості задач неопуклого стохастичного програ-мування: моделі неопуклих негладких залежностей, субдиференціальні властивості функцій очікуваної корисності, необхідні умови оптимальності, оцінки оптимальних значень.

3. Розроблені та досліджені стохастичні методи розв'язання задач неопуклого стохастичного програмування, побудовані на використанні реалізацій випадкових функцій задачі або їх градієнтів.

4. окрема, розроблено та обгрунтовано стохастичний метод гілок та меж для розв'язання задач стохастичної глобальної та стохастичної дискретної оптимізації, глобальної оптимізації ймовірностей.