1.3 Приклади стохастичних задач.

Задача 1.

Нехай потрібно зробити запас з товарів у кількості , на які є випадковий попит . Нестача одиниці j-го товару карається штрафом сj, тобто , а витрати на зберігання одиниці відповідної продукції, яку не вдалося збути, задаються вектором .

Розв’язування. Функція збитків, що відповідає розв’язку х, має вигляд:

Тут — штраф за не задоволення попиту щодо j-го виду продукції; — витрати на зберігання j-ї продукції. Для знаходження оптимального розв’язку цієї задачі необхідно знати функцію розподілу випадкової величини . Коли така функція розподілу невідома і знайти її неможливо, вважають, що випадкова величина розподілена рівномірно. При цьому необхідно пам’ятати, що саме таке припущення може призвести до неправильного прийняття

рішення.

Задача 2.

Будь-які особи можуть тримати своє багатство у вигляді грошей та облігацій. Гроші — це актив, що використовується як засіб обігу, не приносячи процентів. Облігації — цінні папери, що дають певний процент. Логічно, здавалося б, що таким особам вигідно повинні зберігати своє багатство у вигляді облігацій. Проте це не так, оскільки процент і ринкова вартість облігацій наперед точно не відомі, тобто існує невизначеність.

Розв’язування. Нехай S — розмір активу, а x і y — розміри активів, які зберігаються відповідно у формі грошей та облігацій. Вважаємо, що через рік активи, вкладені в облігації, змінюються. За решти однакових умов облігацію, яка приносить більший процент прибутку на ринках цінних паперів, можна збути за більшу суму, ніж облігацію з меншим процентом. Позначимо та розміри активів, які реалізуються через рік на одиницю активів, збережених відповідно у формі грошей та вкладених в облігації. Значення , а є випадковою величиною. математична модель найбільш пріоритетного розподілу активу на гроші та облігації полягає в максимізації сподіваної корисності:

за умов :

Звідси випливає, що коли , то активи потрібно вкладати в облігації та навпаки. Отже, питання щодо розподілу активу між грішми та облігаціями повністю вирішується на користь одного з цих видів заощаджень. Якщо , то однаково, який спосіб заощадження буде використано.

Задача 3.

Оцінити доцільність страхування, коли особа (клієнт) бажає застрахувати певну частину свого активу і сплачує для цього певний внесок страховій компанії, а у разі втрати активу одержує від неї страхову винагороду. Визначити частку активу, яку доцільно застрахувати.

Розв’язування. Нехай S — актив (капітал, майно тощо), власником якого є певна особа. Частку, що її бажано застрахувати, позначимо х. Страховий внесок, який сплачується страховій компанії, дорівнює rx, а в разі втрати активу клієнт одержує винагороду qx. Коли відома ймовірність p недоторканості активу клієнта, то математична модель визначення частки страхового активу набирає вигляду:

Тут легко врахувати також обсяги дивідендів. Така модель може бути корисною для страхових компаній у разі визначення доцільних розмірів страхових внесків та страхових винагород, які зацікавили б клієнтів і були вигідними самій компанії.