Примеры решения задач

Пример 1. Материальная точка массой колеблется по закону (в уравнении все данные выражены в единицах СИ). Напишите уравнение для скорости и ускорения этой точки. Найдите максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки.

Дано: .

Найти: ; ; ; .

Решение. Выражение для скорости получим, взяв производную по времени от смещения:

(1)

или .

Из данного уравнения для координаты имеем:

, , .

Следовательно,

или

.

Выражение для ускорения получим, взяв произвольную по времени от скорости:

или

(2)

Подставляя вместо и их значения, получим:

.

Из выражения (2) видно, что , положив, что .

Тогда максимальная сила, действующая на точку, согласно второму закону Ньютона равна:

.

Подставив в это уравнение значения , , , получим:

.

Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени.

Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинетическая энергия достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии :

(3)

Максимальную скорость определим из формулы (1), положив, что :

.

Подставив выражение максимальной скорости в формулу энергии (3), найдем полную энергию:

.

Выполним вычисление, получим:

.

Ответ: , .

Пример 2. Точка совершает колебания по закону , где . Определить начальную фазу , если и . Построить векторную диаграмму для момента .

Дано: , ; , .

Найти: .

Решение. Воспользуемся уравнением движения из условия задачи и выразим смещение в момент через начальную фазу:

.

Отсюда найдем начальную фазу:

.

Подставив в это выражение заданные значения и , получим:

.

Значению аргумента удовлетворяют два значения угла:

и .

Для того чтобы решить, какое из этих значений угла удовлетворяет еще и условию , найдем сначала :

.

Подставив в это выражение значение и поочередно значения начальных фаз и , найдем:

и .

Т ак как всегда и , то условию удовлетворяет только первое значение начальной фазы.

Таким образом, искомая начальная фаза . По найденному значению построим векторную диаграмму (рис. 14).

Пример 3. Часы, период колебаний маятника которых , на поверхности Земли идут точно. На сколько будут отставать эти часы за сутки, если их поднять на высоту над поверхностью Земли? Маятник часов считать математическим.

Дано: , , , .

Найти: .

Решение. На поверхности Земли период колебаний маятника равен:

. (1)

На высоте над Землей период колебаний маятника составит:

, (2)

где – ускорение свободного падения на этой высоте.

Число колебаний маятника за сутки на высоте равно:

,

где .

Следовательно, на высоте над Землей часы отстанут за сутки на время:

(3)

Из выражений (1) и (2) находим, что отношение периодов равно:

. (4)

Найдем зависимость ускорения свободного падения от высоты .

В поле Земли на материальную точку действует сила тяготения:

,

где – масса Земли, – радиус Земли, – масса материальной точки.

Согласно второму закону Ньютона под действием силы тяготения материальная точка получает ускорение :

.

У поверхности Земли это ускорение:

,

а на высоте над поверхностью Земли:

.

Тогда отношение периодов (4) примет вид:

. (5)

Подставив в формулу (3) выражение (5), найдем отставание часов за сутки:

. (6)

Так как , то в знаменателе выражения для можно пренебречь, с учетом этого формула (6) примет вид:

.

Выполним вычисления:

.

Ответ: .

П ример 4. Два неподвижных точечных заряда расположены в точках и на расстоянии друг от друга. Вдоль оси симметрии системы этих зарядов может перемещаться шарик массой , несущий точечный заряд , (рис. 15). Считая смещение отрицательного заряда от прямой , соединяющей положительные заряды, малым по сравнению с , определите период колебаний отрицательного заряда.

Дано: , , .

Найти: .

Решение. Направим ось вдоль оси симметрии системы данных зарядов (рис. 15), а начало координат совместим с серединой отрезка . Сместим заряд на небольшое расстояние от положения равновесия . Тогда на заряд со стороны зарядов начнут действовать силы и , стремящиеся вернуть заряд снова в положение равновесия (рис. 16).

Уравнение колебания заряд :

.

В проекциях на ось :

или

, (1)

т.к. .

Угол мал, то .

Модуль силы найдем по закону Кулона:

,

где – расстояние от заряда до при смещении заряда в точку .

Смещение – малая величина, а – второго порядка малости и ею можно пренебречь. Следовательно, и модуль силы примет вид:

. (2)

Заменив в выражении (1) и их значениями, получим дифференциальное уравнение колебаний заряда :

,

или

, , (3)

где .

Уравнение (3) описывает гармонические колебания, совершающиеся с циклической частотой

.

Отсюда период колебаний отрицательного заряда будет равен:

.

Ответ: .

Пример 5. На каком расстоянии от центра надо подвесить тонкий однородный стержень длиной , чтобы период его малых колебаний был наименьшим? Точка – центр масс данного стержня.

Дано: .

Найти: , при котором .

Решение. Стержень – физический маятник. Период колебаний физического маятника:

,

где – момент инерции стержня относительно искомой точки подвеса – точки , – расстояние от точки подвеса до центра масс маятника (рис. 17).

По теореме Штейнера момент инерции стержня относительно точки подвеса:

,

где – момент инерции стержня относительно центра масс , – расстояние между осью и центром масс .

Подставив это выражение в формулу для периода , получим:

.

Период будет наименьшим при условии (или при равенстве нулю производной подкоренного выражения, полученного соотношения периода колебаний):

.

Откуда

.

Ответ: .

Пример 6. Материальная точка участвует в четырех колебаниях, происходящих по одной прямой и выраженных уравнениями:

, (1)

, (2)

, (3)

(4)

Определите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания.

Решение. Точка участвует в четырех гармонических колебаниях, так как смещения , , , являются косинусоидальными функциями времени. Результирующее колебание точки также будет гармоническим.

Сравним (1), (2), (3), (4) с общим уравнением смещения гармонических колебаний:

.

Видим, что складываемые колебания характеризуются следующими величинами: амплитуды , , . ; начальные фазы , , , ; циклические частоты .

С помощью формул:

и

можно сначала сложить любые два из четырех заданных колебаний. Затем, еще два раза применив эти формулы, найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания.

К этому же результату придем быстрее, применив метод векторных диаграмм, сущность которого в том, что амплитуду и начальную фазу результирующего колебания находим путем сложения векторов. Длина каждого вектора берется равной амплитуде соответствующего колебания, а угол, образованный вектором с осью , равен начальной фазе . Величины и определяются длиной результирующего вектора и углом его наклона к оси .

Построим векторную диаграмму по данным задачи (рис. 18).

Результирующий вектор . Выполним сложение векторов . На векторной диаграмме амплитуда результирующего колебания (модуль вектора ) равна:

.

Из этой же векторной диаграммы находим, что

, а .

Ответ: ; .

Пример 7. Энергия затухающих колебаний маятника, происходящих в некоторой среде, за время уменьшилась в . Определить коэффициент сопротивления , если масса маятника .

Дано: ; ; .

Найти: .

Решение: Коэффициент сопротивления связан с коэффициентом затухания и массой тела соотношением:

.

Откуда

(1)

Чтобы найти величину , обратимся к уравнению зависимости амплитуды затухающих колебаний от времени:

(2)

Энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, обозначив начальную и конечную энергию колебаний через и , выразим отношение энергий через отношение амплитуд:

.

Откуда

.

Теперь имеем из соотношения (2):

. (3)

Логарифмируя выражение (3), находим:

; .

Подставив найденное значение в (1), получим ответ:

.

Выполним вычисления:

.

Ответ: .

Пример 8. Найти добротность математического маятника длиной , если за его энергия колебаний уменьшилась в .

Дано: ; ; .

Найти: .

Решение. Прежде всего выясним, можно ли в данном случае пользоваться формулой зависимости энергии от времени , справедливой для малого затухания .

Если ~ , то из условия задачи следует, что

и ,

откуда коэффициент затухания:

. (1)

Собственная циклическая частота колебаний математического маятника:

(2)

Сравнивая с , заключаем:

.

Учитывая, что при малых затуханиях , добротность в данном случае будет:

.

Ответ: .

Пример 9. Груз массой , подвешенный на нити длиной , совершает колебания в жидкости. Коэффициент сопротивления . На груз действует вынуждающая сила . Определить: 1) частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна; 2) резонансную амплитуду.

Дано: , , , .

Найти: 1) ; 2) .

Решение. Очевидно, что частота вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна, является резонансной частотой:

, (1)

где – собственная частота колебаний системы; – коэффициент затухания.

Груз, подвешенный на нити, можно принять за математический маятник, тогда . Подставив и в формулу (1), найдем искомую резонансную частоту:

.

Выполним вычисление резонансной частоты:

.

Амплитуда вынужденных колебаний:

. (2)

Как видно из соотношения (2), амплитуда вынужденных колебаний зависит от циклической частоты вынуждающей силы. При значении наступает явление резонанса: амплитуда достигает максимального значения .

Величину выразим по соотношению (2), подставив из (1) вместо :

,

где – амплитудное значение вынужденной силы; – коэффициент затухания .

Выполним вычисления, учитывая, что амплитудное значение вынуждающей силы :

.

Ответ: 1) ; 2) .

Пример 10. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью и катушки индуктивностью . Определить максимальную силу тока в контуре, если максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора . Сопротивлением контура пренебречь.

Дано: ; ; .

Найти: .

Решение. Задачу можно решить двумя способами.

Первый способ. Если в колебательном контуре сопротивление пренебрежимо мало, то в контуре будут незатухающие колебания, совершающиеся по гармоническому закону:

. (1)

Сила тока есть производная от заряда по времени. Поэтому, дифференцируя обе части (1) по времени, получим уравнение для силы тока в контуре:

,

– амплитудное, т.е. максимальное значение силы тока в контуре. Подставив значение из формулы и из формулы емкости конденсатора , определим искомую величину:

.

Второй способ. В процессе незатухающих электрических колебаний полная энергия контура, равная сумме энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки , остается постоянной. При этом в те моменты, когда конденсатор максимально заряжен , сила тока равна нулю. Следовательно, полная энергия контура:

. (2)

В то же время, когда конденсатор разряжен , сила тока достигает максимального значения . Тогда полная энергия контура:

. (3)

Приравняв правые части формул (2) и (3), найдем:

, .

Произведем вычисления:

.

Ответ: .

Пример 11. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью , конденсатора емкостью и резистора. Определить сопротивление резистора , если известно, что амплитуда силы тока в контуре уменьшилась в раз за 16 полных колебаний.

Дано: ; ; .

Найти: .

Решение. Сопротивление резистора в колебательном контуре связано с коэффициентом затухания и индуктивностью соотношениями:

, .

Чтобы найти обратимся к уравнению затухающих колебаний для амплитуды тока: ( ~ ).

Амплитуда тока уменьшается в раз за время релаксации:

.

За это время совершится колебаний. Если – период затухающих колебаний, то . Учитывая, что период затухающих колебаний:

,

где – собственная частота контура; – коэффициент затухания.

После ряда упрощений выразим число колебаний через данные в условии задачи и сопротивление :

.

Решив последнее уравнение, найдем искомое сопротивление:

.

Произведем вычисления:

.

Ответ: .

Пример 12. Плоская синусоидальная волна распространяется вдоль прямой, совпадающей с положительным направлением оси , в среде, непоглощающей энергию, со скоростью . Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях и от источника колебаний, колеблются с разностью фаз . Амплитуда волны .

Определить: 1) длину волны; 2) уравнение волны; 3) смещение первой точки в момент времени .

Дано: , , , , , .

Найти: 1) ; 2) ; 3) .

Решение. Разность фаз колебаний двух точек волны в данный момент времени :

,

где – волновое число; – расстояние между двумя точками, находящимися на луче волны в один и тот же момент времени.

Из полученной формулы связи разности фаз с расстоянием между двумя точками на луче, находим длину волны:

.

Циклическая частота , где .

Следовательно, .

Уравнение плоской упругой волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси :

. (2)

Чтобы найти смещение , надо в уравнение (2) подставить значения и .

Выполним вычисления:

;

;

.

Ответ: ; .