6. Вынужденные колебания Основные понятия, законы и формулы

6.1. Уравнение вынужденных колебаний.

Свободные колебания реальной колебательной системы являются затухающими. Чтобы возбудить в такой системе незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии, обусловленные силами сопротивления. Это можно осуществить, воздействия на систему переменной внешней силой , изменяющейся по гармоническому закону:

,

где – циклическая частота изменения внешней вынуждающей силы; – амплитудное значение внешней силы.

Возникающие при этом колебания и называются вынужденными. На частицу массы , совершающей вынужденные колебания будут действовать одновременно три силы: квазиупругая , сила сопротивления и внешняя, вынуждающая .

• Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

или ,

где ; ;

• Уравнение установившихся вынужденных колебаний – есть решение дифференциального уравнения:

,

где – амплитуда вынужденных колебаний; – циклическая частота вынужденных колебаний, равная частоте вынуждающей силы; – отставание смещения по фазе от вынуждающей силы.

6.2. Амплитуда вынужденных колебаний:

.

6.3. Отставание смещения по фазе на от вынуждающей силы определяется из соотношения:

.

6.4. Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды колебаний. На рис. 11 приведены графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы, которые принято называть резонансными кривыми.

6.5. Резонансная частота и резонансная амплитуда:

, .

7. Электрические колебания Основные понятия, законы и формулы

7 .1. Колебательный контур.

В контуре, содержащем конденсатор емкостью , катушку индуктивности и омическое (активное) сопротивление , соединенных последовательно, возникают периодические или почти периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, рис. 12. Колебания, возникающие в таком контуре – колебательном контуре, называют электрическими (иногда электромагнитными).

Взаимное соответствие между механическими и электрическими величинами, которые описывают соответствующие колебания, иллюстрируется таблицей 1.

Таблица 1

Механические величины	Электрические величины
Координата	Заряд
Скорость	Сила тока
Ускорение	Скорость изменения силы тока
Масса	Индуктивность
Жесткость, упругость	Величина, обратная емкости,
Трение, коэффициент трения	Сопротивление
Потенциальная энергия	Энергия электрического поля конденсатора
Кинетическая энергия	Энергия магнитного поля катушки

7.2. Свободные незатухающие колебания.

Если в контуре нет внешней ЭДС ( ) и активное сопротивление , то такой контур называют идеальным. Колебания в идеальном контуре являются свободными незатухающими.

• Дифференциальное уравнение колебаний заряда в идеальном контуре:

или ,

где – собственная частота колебаний в контуре без активного сопротивления .

• Решение дифференциального уравнения – есть закон свободных незатухающих колебаний заряда:

,

где – амплитудное значение заряда на обкладках конденсатора, – начальная фаза.

• Период свободных незатухающих колебаний в контуре:

(формула Томсона).

• Сила тока в колебательном контуре изменяется по закону:

,

где – амплитуда силы тока.

• Напряжение на конденсаторе изменяется по закону:

,

где – амплитуда напряжения.

• Полная энергия идеального колебательного контура:

.

В контуре возникают электрические колебания, сопровождающиеся превращениями энергий электрического и магнитного полей:

.

7.3. Свободные затухающие колебания.

Каждый реальный контур обладает активным сопротивлением, и энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание. Свободные колебания будут затухающими.

• Дифференциальное уравнение затухающих колебаний заряда в контуре:

или ,

где , – коэффициент затухания.

• Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний заряда в контуре имеет вид:

,

где – амплитуда затухающих колебаний; – величина заряда на обкладках конденсатора в момент времени ; – частота затухающих колебаний; – собственная частота в отсутствии активного сопротивления.

• Зная закон изменения заряда , можно найти напряжение на конденсаторе и силу тока в контуре.

Напряжение на конденсаторе:

.

Сила тока в контуре:

,

где .

• Логарифмический декремент затухания электрических колебаний:

,

где – активное сопротивление контура; – индуктивность контура; – частота затухающих колебаний.

• Добротность колебательного контура:

.

В случае слабого затухания добротность:

.

При вместо колебаний будет происходить апериодический разряд конденсатора.

• Активное сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называют критическим:

.

7.4. Вынужденные электрические колебания.

Вынужденные колебания – незатухающие колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся ЭДС :

.

• Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в контуре:

или .

• Решение дифференциального уравнения для установившихся вынужденных колебаний заряда в контуре:

,

где – амплитуда заряда на конденсаторе; – циклическая частота вынужденных колебаний, равная циклической частоте изменения вынужденной силы; – разность фаз между колебаниями заряда и внешней ЭДС.

• Амплитуда заряда в установившихся вынужденных колебаниях и разность фаз между колебаниями заряда и внешней ЭДС:

; .

• Сила тока при установившихся колебаниях:

,

где – амплитуда тока, равная

.

7.5. Резонанс тока – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний силы тока в колебательном контуре с малым активным сопротивлением.

• Резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура:

.

• Резонансная частота для заряда и напряжения на конденсаторе:

.

7.6. Полное сопротивление цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные резистор сопротивлением , катушку индуктивности и конденсатор емкостью , на концы которой подается переменное напряжение :

• ,

где –индуктивное сопротивление; – емкостное сопротивление; – активное (омическое) сопротивление.

• Действующие (эффективные) значения тока и напряжения:

; ,

где и – амплитудные значения силы тока и напряжения.

Амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения.

• Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока:

,

где – коэффициент мощности, равный

.