Гармонические колебания

1. Кинематика гармонических колебаний Основные понятия, законы и формулы

1. Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина (например, линейное или угловое смещение из положения равновесия) изменяется со временем по закону синуса или косинуса:

или ,

где – амплитуда колебаний (максимальное значение колеблющейся величины), – фаза колебаний в момент времени , – начальная фаза в момент времени , – циклическая (круговая) частота колебаний.

2. Циклическая частота связана с периодом и линейной частотой как ,

где – линейная частота (число полных колебаний в единицу времени).

Следует обратить внимание на различие наименований и размерности циклической и линейной частот: , ; , Гц (герц).

В пособии используется функция косинуса

3. Скорость колеблющейся точки:

4. Ускорение колеблющейся точки:

Скорость и ускорение изменяются по гармоническому закону с амплитудами и соответственно. При этом скорость опережает смещение по фазе на , а ускорение – на . На рис. 1 приведены графики зависимостей , , для случая .

5. Гармонические колебания можно представить комплексным выражением. С помощью формулы Эйлера:

,

где – мнимая единица, легко видеть тождественность следующих математических выражений:

.

В теории колебаний принимается, что колеблющаяся величина равна вещественной части комплексного выражения (обозначение вещественной части принято опускать):

.

2. Динамика гармонических колебаний Основные понятия, законы и формулы

1. Сила, действующая на колеблющуюся материальную точку

,

пропорциональна смещению материальной точки и направлена в противоположную сторону (к положению равновесия).

2. Кинетическая энергия колеблющейся материальной точки:

.

3. Потенциальная энергия материальной точки, колеблющейся под действием квазиупругой силы :

где – коэффициент упругости .

2.4. Полная энергия

.

На рис. 2. приведены графики зависимости энергий , от времени. Из рисунка видно, что в процессе колебаний происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

Энергии и изменяются с частотой , т.е. с частотой, которая в 2 раза превышает частоту изменения смещения от времени.

3. Гармонические осцилляторы Основные понятия, законы и формулы

1. Гармонический осциллятор – система (тело), совершающая гармонические колебания, описываемые уравнением вида:

.

Примерами гармонических осцилляторов будут пружинный, физический, математический маятники, совершающие свободные колебания без трения под действием квазиупругой силы (или момента силы), т.е. силы, направленной к положению равновесия и зависящей от смещения из этого положения линейно.

2. П ружинный маятник – грузик массой на пружине жесткостью (рис. 3).

Возьмем начало оси в положении равновесия. В этом положении ,

где – растяжение пружины.

Тогда, согласно основному уравнению динамики, уравнение движения маятника примет вид:

или

,

где – ускорение; .

Решение этого уравнения:

.

П ружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой и периодом:

; .

3. Физический маятник – твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс С тела, рис. 4.

Выберем положительное направление отсчета угла против часовой стрелки (ось проходит через точку О и направлена к нам). Тогда проекция момента силы тяжести на ось :

.

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела примет вид:

,

или

,

или

,

где – угловое ускорение маятника относительно оси ; – момент инерции маятника относительно оси , проходящей через точку О; – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника; соответствует малым колебаниям маятника, т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия.

Решением дифференциального уравнения будет уравнение движения физического маятника:

.

Физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой и периодом:

; .

3.4. Математический маятник – материальная точка массы , подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной , и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Математический маятник можно представить как предельный случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре масс, момент инерции маятника (момент инерции материальной точки) , где расстояние от оси до центра масс равно длине маятника .

Период колебаний и циклическая частота математического маятника соответственно равны

и

3.5. Приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, который колеблется с физическим маятником синхронно. Периоды колебаний физического и математического маятников будут одинаковы. При этом условии приведенная длина физического маятника

.