4. Сложение гармонических колебаний Основные понятия, законы и формулы

4.1. Векторная диаграмма.

Р ешение ряда вопросов значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически с помощью вектора – амплитуды , вращающегося с угловой скоростью против часовой стрелки. Если в момент вектор образует с осью угол (рис. 5), то проекция вектора на ось изменяется со временем по гармоническому закону:

.

Т акой способ представления колебаний, названный векторной диаграммой, удобно использовать при сложении колебаний одного направления.

4.2. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты, когда :

, .

В этом случае результирующее смещение:

.

Каждое из складываемых колебаний можно представить с помощью векторов и , вращающихся с одной и той же угловой скоростью , рис. 6. Смещение результирующего колебания из рис. 6 будет:

.

Результирующее колебание является тоже гармоническим с той же циклической частотой , что и составляющие колебания, с амплитудой:

и с начальной фазой, определяемой из уравнения:

.

где – разность начальных фаз, которая равна разности фаз в любой момент времени.

4.3. Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты с амплитудами и и начальными фазами , :

;

.

Уравнение траектории результирующего движения в координатах , имеет вид:

.

Это уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно.

4.4. Некоторые частные случаи сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний:

а) , тогда , т.е. частица движется по прямой в первом и третьем квадратах, рис. 7а;

б) , тогда и частица движется тоже по прямой, но во втором и четвертом квадратах, рис. 7б;

в) . В этом случае , т.е. частица движется по эллипсу, полуоси которого и совпадают с осями координат, рис. 7с.

5. Затухающие колебания Основные понятия, законы и формулы

5.1. Уравнение затухающих колебаний.

В любой реальной колебательной системе есть силы сопротивления (трения), действие которых приводит к уменьшению амплитуды и энергии колебаний. Такие колебания называются затухающими.

На частицу массы , совершающей затухающие колебания, кроме квазиупругой силы

,

действует сила сопротивления, пропорциональная скорости частицы,

,

где – коэффициент сопротивления (величина размерная).

• Дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

или ,

где – коэффициент затухания ; – циклическая частота свободных колебаний в отсутствие потерь энергии ( при ).

• Уравнение затухающих колебаний – есть решение дифференциального уравнения:

,

г де – амплитуда затухающих колебаний; – циклическая частота затухающих колебаний; – начальная фаза, определяемая начальными условиями.

5.2. Амплитуда затухающих колебаний:

,

где – амплитуда колебаний в момент времени ; – коэффициент затухания , рис. 8.

5.3. Циклическая частота затухающих колебаний:

,

где – циклическая частота свободных колебаний без трения. Частоту называют собственной частотой свободных незатухающих колебаний.

5.4. График функции затухающих колебаний, рис. 9.

Из графика видно, что эта функция не периодическая (амплитуда, т.е. максимальное смещение со временем убывает). Тем не менее, величину

.

принято называть периодом затухающих колебаний (условным периодом).

5.5. Энергия затухающих колебаний.

При малом затухании зависимость становится практически экспоненциальной:

Убыль энергии в единицу времени:

.

5.6. Характеристики затухания.

• Время релаксации – это время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в раз ( – основание натурального логарифма):

.

• Логарифмический декремент затухания:

,

где , – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающихся на период; – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в раз.

• Добротность колебательной системы:

.

П ри малых значениях логарифмического декремента добротность:

.

При достаточно большом затухании система совершает апериодическое движение, выведенная из положения равновесия, она возвращается в это положение, не совершая колебаний. В зависимости от начальных условий возможны два случая апериодического возвращения системы в состояние равновесия (рис. 10). Движения типа а осуществляется, если , а . Во всех остальных случаях происходит апериодическое движение типа б.