2.4. Граничные условия

Кроме материальных уравнений в случае движущейся среды нужно переформулировать и граничные условия к уравнениям поля. Граничные условия в сопутствующей системе координат имеют вид (1.32) – (1.35) только в том случае, когда частные производные по времени, входящие в уравнения Максвелла, являются ограниченными величинами, как это имеет место в неподвижной среде. Если же тело движется, то в тот момент, когда его граница проходит через точку наблюдения, поле в этой точке меняется скачком, и частные производные D/t и В/t обращаются в бесконечность.

Отметим, что условия для нормальных компонент векторов электрической и магнитной индукции были выведены в п. 1.2 из уравнений (1.29) и (1.30), не содержащих частных производных по времени, поэтому граничные условия (1.34) и (1.35) справедливы и для движущихся сред. Для того чтобы получить граничные условия для тангенциальных компонент напряженностей электрического и магнитного полей, перейдем к системе отсчета, движущейся вместе с данным элементом поверхности тела. Проекцию скорости этого элемента на нормаль n к поверхности тела обозначим v_n. В сопутствующей системе справедливы обычные условия (1.32) и (1.33) для тангенциальных компонент Е_ и Н_.

Для случая нерелятивистских скоростей движения среды можно воспользоваться правилом (2.7) преобразования электромагнитного поля, и считать, что условия (1.32) и (1.33) записаны соответственно для тангенциальных компонент векторов E + [v´B]/c и H + [D´v]/c. Проецируя их на плоскость, перпендикулярную к n и учитывая условия (1.34), (1.35), а также формулы (2.21) и (2.22) в первом порядке малости по отношению v/c, получим:

[n(Е₁ – Е₂)] = v_n(B₂ – B₁)/c  v_n(₂ – ₁)H_/c (2.23)

[n(H₁ – H₂)] = 4pi/c –v_n(D₂ – D₁)/c  4pi/c –v_n(₂ – ₁)E_/c. (2.24)

Отметим, что если тело движется так, что его поверхность не смещается в перпендикулярном к самой себе направлении, например при повороте тела вращения вокруг оси, то v_n = 0. В этом случае граничные условия (2.23) и (2.24) сводятся к обычным условиям для тангенциальных компонент (1.32) и (1.33).

3. Электромагнитное поле в диспергирующей среде

Материальное уравнение (1.37) устанавливает зависимость индукций от напряженностей соответствующих полей. Диэлектриче­с­кая и магнитная проницаемости при этом являются постоянными и не зависят от частоты электромагнитного поля. Такой подход справедлив в квазистаци­о­на­р­ном приближении, когда скорость изменения макроскопического поля намного меньше характерной скорости релаксации носителей зарядов. В диапазоне высоких частот из-за инерции носителей зарядов их движение отстает от изменения макроскопического поля, в результате электрическая и магнитная индукции зависят как от текущих, так и от предшествующих значений полей в некоторой окрестности точки наблюдения. Это явление называется дисперсией.

3.1. Комплексная диэлектрическая проницаемость

Дисперсия, как правило, связана с внутренними свойствами материальной среды, обычно выделяются частотная (временная) дисперсия, когда поляризация в диспергирующей среде зависит от значений поля в предшествующие моменты времени (память), и пространственная дисперсия, когда поляризация в дан­ной точке зависит от значений поля в некоторой области (нелокальность). В сре­де с пространственной и временной дисперсией материальные уравнения (1.37) и (1.40) имеют операторный вид:

Это – наиболее общая форма линейных материальных уравнений, учитывающая нелокальность, запаздывание и анизотропию. Для однородной и стационарной среды материальные характеристики ,  и , называемые функциями от­клика, должны зависеть только от разностей координат и времени R = r – r₁,

 = t – t₁:

, (3.1)

, (3.2)

. (3.3)

Выражение (1.42) для обобщенной индукции в случае диспергирующей среды может быть записано в виде

, (3.4)

Пределы интегрирования по времени в соотношениях (3.1) – (3.4) отражают принцип причинности: поляризация и намагниченность среды в данный момент времени не могут зависеть от будущих значений напряженности поля. Зависимость реакции среды от предшествующих данному моменту значений поля объясняется конечностью времени релаксации, то есть перестройки, системы зарядов. Фактически память о предшествующих значениях поля сохраняется в течение конечного времени, порядка времени релаксации _р зарядов среды. Поэтому функции отклика среды _ij(), _ij(), _ij() быстро затухают при  > _р.

Физическая причина зависимости поляризации или индуцированного тока в точке наблюдения r от значения поля в соседних точках пространства r₁ связана, например, с тем, что в данную точку вследствие теплового движения могут приходить частицы из соседних областей пространства с другими значениями полей. В результате связь между реакцией системы и напряженностью поля оказывается нелокальной. Эффекты нелокальности тем больше, чем сильнее поле меняется в пространстве. Обычно с ростом R функции отклика _ij(R), _ij(R), _ij(R) достаточно быстро убывают.

Представляет интерес вопрос о совместимости дисперсионных явлений с макроскопическим описанием полей в среде. Наиболее быстрый механизм установления поляризации – электронный. Его время релаксации порядка a/v, где а – характерный размер атома (элементарной ячейки), v – характерная скорость дви­жения электронов в атоме. Дисперсия становится существенной, если  >> v/a, где  – частота изменения электромагнитного поля. Условие же применения ма­к­роскопического описания требует, чтобы длина, на которой существенно меня­ется напряженность макроскопического поля, значительно превосходила ато­м­ные размеры, то есть с/ >> a, или  << c/a. Так как c/v ~ 137, существует область частот, при которой оба условия выполняются

Рассмотрим однородную непироэлектрическую и неферромагнитную среду без пространственной дисперсии и без сторонних токов и зарядов. Материальные уравнения (3.1) – (3.3) с учетом формулы (1.38) в этом случае принимают вид свертки

, (3.5)

, (3.6)

. (3.7)

Формула (3.4) для обобщенной индукции с учетом соотношений (1.24), (1.25), (1.31), (1.41), (1.44) и выражений (3.5), (3.6) и (3.7) для среды без пространственной дисперсии принимает вид:

(3.8)

Взяв от соотношений (3.5) – (3.7) преобразование Фурье, получим:

D_i() = _ij()E_j(), (3.9)

В_i() = _ij()H_j(), (3.10)

j_i() = _ij()E_j(). (3.11)

Здесь , , , , – спектры компонент электрического и магнитного поля, электрической и магнитной индукции и плотности тока соответственно,

, (3.12)

, (3.13)

­– (3.14)

тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости и проводимости соответственно, комплекснозначные функции частоты.

Преобразование Фурье от выражения (3.8) для обобщенной индукции вычислим в случае немагнитной среды без пространственной дисперсии, когда _ij(t) = _ij(t). Тогда

, (3.15)

где

­– (3.16)

тензор комплексной диэлектрической проницаемости. Нетрудно показать, исходя из вещественности функций отклика _ij(t) _ij(t) и _ij(t), что введенные соотношениями (3.12), (3.13), (3.14) и (3.16) функции являются эрмитово сопряженными, то есть , , , . Следовательно, действительные части проницаемостей и проводимости – четные функции частоты, а мнимые – нечетные.