7.2. Нормальный скин-эффект, поверхностный импеданс

Другой эффект, связанный с существованием поверхности, заключается в том, что если в вакууме вблизи проводящей среды существует переменное электромагнитное поле, то оно проникает в проводящую среду только на конечную глубину. Это явление называется скин-эффектом.

Наиболее просто скин-эффект описывается для низкочастотных полей благодаря двум упрощающим обстоятельствам. Во-первых, низкочастотная волна имеет длину , намного превышающую длину l свободного пробега носителей тока в среде. При этом носители тока движутся в поле, которое, хотя и является переменным во времени, но может считаться однородным в пространстве на расстояниях порядка l. Поэтому связь тока с полем является локальной вида (1.40), а пространственная дисперсия несущественной.

Во-вторых, если размеры L проводника малы в сравнении с длиной волны электромагнитных колебаний, то есть L <<  = 2c/, то на столь низких частотах можно пренебречь током смещения в уравнении Максвелла (1.31) и записать его для изотропной среды с учетом уравнения (1.40) в виде

rot H = 4E/c. (7.11)

Поскольку в проводнике наведенные полем заряды рассасываются за время порядка _р, то для частот  <<  проводник можно считать квазинейтральным. В этом случае уравнение (1.10) становится однородным:

div E = 0. (7.12)

Уравнения (1.28) и (1.29) остаются неизменными. Учитывая, что в изотропной неферромагнитной среде материальное уравнение (1.39) принимает вид В = Н, исключим из уравнений (1.28) и (7.11) с учетом уравнения (1.29) электрическое поле

. (7.13)

Аналогично можно исключить магнитное поле с учетом уравнения (7.12):

. (7.14)

Пусть плоская гармоническая электромагнитная волна падает нормально на поверхность металла z > 0, так что электрическое поле имеет только х-ком­по­нен­ту, а магнитное поле ­– только у-компоненту. Фурье-образ уравнения (7.14)

(7.15)

имеет решение

E(z) = E₀ exp(kz). (7.16)

Подставляя выражение (7.16) в уравнение (7.15), получим:

. (7.17)

Таким образом, решение уравнения (7.14), описывающее электромагнитную волну в металле имеет вид

. (7.18)

В этом решении следует сохранить только слагаемое, обращающееся на бесконечности в нуль. Таким образом, кроме осциллирующей части, в решении (7.18) имеется множитель , обеспечивающий локализацию поля в тонком слое вблизи поверхности проводника. Характерная толщина этого скин-слоя

. (7.19)

Формула (7.19) справедлива, если выполняются условия l << , благодаря чему можно пренебречь пространственной дисперсией, и  << 1, где  – время свободного пробега электронов в металле, что позволяет не учитывать временную дисперсию и пользоваться статической проводимостью . Из сравнения уравнений (7.13) и (7.14) видно, что магнитное поле в металле убывает по тому же закону (7.18), что и электрическое.

Найдем соотношение между величинами напряженностей электрического и магнитного полей на поверхности проводника. Из уравнений (7.13) (7.18) и (7.19) следует, что векторы Е и Н связаны между собой соотношением

, (7.20)

где n = k/k – единичный вектор, направленный вдоль оси z. Соотношение (7.20) справедливо для любой точки среды и для поверхности в том числе. Величина

, (7.21)

связывающая тангенциальные компоненты напряженностей электрического и маг­нитного полей, называется поверхностным импедансом. Напомним, что все предыдущие формулы были получены для случая нормального падения на границу среды поперечной волны.

Вследствие непрерывности тангенциальных компонент векторов поля на границе среды, соотношение (7.20) справедливо и для полей на внешней стороне проводника. Поэтому соотношение

E_ = Z_S[H_  n] (7.22)

можно рассматривать как граничное условие, позволяющее находить поле вне проводника, не рассматривая поле внутри среды. В курсе "Физика волновых процессов" показывается, что условие (7.22), называемое граничным условием Леонтовича, справедливо не только для нормального падения волны на границу хорошо проводящей среды и даже для неплоской поверхности, если радиус ее кривизны велик по сравнению с величиной .