2. Электродинамика движущихся сред

Усреднение микроскопических уравнений Максвелла (1.1) – (1.4) в предыдущем разделе было выполнено в предположении, что среда неподвижна относительно наблюдателя, то есть покоится в лабораторной системе отсчета. В случае движущейся среды необходимо произвести преобразование микроскопических полей при переходе из лабораторной в сопутствующую систему координат, связанную со средой и двигающейся относительно лабораторной системы с постоянной скоростью V. Кроме того, следует произвести усреднение микроскопических зарядов и токов в движущейся системе координат.

2.1. Преобразования Лоренца

Рассмотрим микроскопические уравнения Максвелла (1.1) – (1.4) в вакууме, то есть при и . Возьмем ротор от уравнения (1.1) и подставим в правую часть уравнение (1.3). Тогда, с учетом того, что в вакууме из уравнения (1.2) следует div e = 0, получаем волновое уравнение

, (2.1)

описывающее распространение электромагнитных волн в пространстве со скоростью с.

Первоначально предполагалось, что волновое уравнение (2.1) записано в «привилегированной» системе отсчета, связанной с неподвижным мировым эфи­ром. Однако, эксперименты (опыт Майкельсона) показали, что скорость света оди­накова во всех инерциальных системах и во всех направлениях. Это значит, что в сопутствующей системе (r, t) волновое уравнение (2.1) должно иметь такой же вид, что и в лабо­раторной системе (r, t). Легко видеть, что преобразование Галилея r = r – Vt, t = t, относительно которого инвариантны уравнения Ньютона, этому условию не удовлетворяют.

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в ва­ку­уме вдоль оси х, тогда уравнение (2.1), описывающее ее, становится скалярным и одномерным:

. (2.2)

Пусть сопутствующая система координат (x, y, z) движется относительно лабораторной системы (x, y, z) с постоянной скоростью V, направленной вдоль оси х, причем соответствующие оси остаются параллельными. В сопутствующей системе волна должна остаться плоской и направленной вдоль оси х. Нетрудно показать, что при этом y = y, z = z.

Рассмотрим линейное преобразование координаты х вида: x = ax + bt,

t= fx + ht, где в силу однородности пространства и времени коэффициенты a, b, f и h не зависят ни от координат, ни от времени, но могут зависеть от скорости V сопутствующей (штрихованной) системы относительной лабораторной. Легко видеть, что V = b/a. Учитывая, что

,

требование неизменности, или инвариантности, волнового уравнения приводит к условиям: –f ² + h²/c² = 1, a² – b²/c² = 1, af – bh/c² = 0, откуда следует преобразование Лоренца, связывающие координаты инерциальных систем:

. (2.3)

Преобразование Лоренца вида (2.3) легко обобщить на случай произвольного направления вектора относительной скорости V, оно оставляет инвариантной квадратичную форму x² + y² + z² – c²t², поэтому ему можно придать геометрический смысл. В 4-х мерном пространстве (х₁, х₂, х₃, х₄), где х₁ = х, х₂ = y, х₃ = z, х₄ = ict, оно оставляет инвариантной квадратичную форму . Поэтому пре­образование Лоренца соответствует вращению системы координат в рассмат­ри­ваемом 4-пространстве, называемом псевдоевклидовом пространством Мин­ковского, и может быть записано в матричном виде:

. (2.4)

Из формулы (2.3) вытекает закон сложения скоростей:

. (2.5)

Поскольку в силу принципа относительности, сила, действующая на движущийся заряд должна быть одинакова во всех инерциальных системах отсчета, то при пе­реходе к движущейся системе отсчета должно преобразовываться и электромаг­нитное поле. Полагая, что в вакууме сторонние силы f_e отсутствуют, запишем уравнение (1.8) в виде: . Можно показать, что закону (2.5) сложения скоростей удовлетворяет правило Лоренца преобразования электрического и магнитного полей:

, (2.6)

где e_|| и b_|| – составляющие полей вдоль скорости V.

Из формул (2.6) следует, что составляющие полей, параллельные вектору относительной скорости систем при переходе из одной системы в другую не меняются. При V << c из преобразования Лоренца (2.6) получаются известные в электричестве соотношения:

. (2.7)